反常积分

概念

因为定积分有两个必要条件：

1. 积分区间有限；
2. 被积函数有界。

破坏第一条“积分区间有限”，则引出无穷区间上的反常积分；

破坏第二条“被积函数有界”，则引出无界函数的反常积分。

Info

因为人们发现，无穷区间或者无界函数围成的面积也可能是有限的，所以对定积分的概念进行了推广。因此定积分和反常积分也有两个别名：

• 定积分 — 常义积分
• 反常积分 — 广义积分

无穷区间上的反常积分

$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)-F(a)$$ $${\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)$$

若极限存在，则反常积分收敛，否则为发散。

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_{x_0}^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-\infty }^{x_0}f(x)\mathrm{d}x$$

若两边都收敛，则反常积分收敛，否则为发散。

Example

${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$ $={\lim }_{x\to +\infty }\left(-\frac{1}{x}\right)-\left(-\frac{1}{1}\right)=1$ 所以反常积分收敛。

${\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^3\mathrm{d}x\ne 0$ 左右均不收敛，因此反常积分发散。但是： ${\lim }_{R\to +\infty }{\int }_{-R}^R{x}^3\mathrm{d}x=0$

Tip

此处可理解为：曲边梯形面积 $S=底\times 高$ ，其中 $底\to \infty$ ， $高\to 0$

因此联想到 七种未定式的计算

无界函数的反常积分

Info

$F(x)$ 是 $f(x)$ 的区间原函数，$x_0$ 是 $f(x)$ 的 瑕点。

若 $x=a$ 是唯一瑕点，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-\underset{x\to a^{+}}{\lim }F(x)$$

若 $x=b$ 是唯一瑕点，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{x\to b^{-}}{\lim }F(x)-F(a)$$

极限存在，则反常积分收敛，否则为发散。

若 $x=c\in (a,b)$ 是唯一瑕点，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

若两边都收敛，则反常积分收敛，否则为发散。

Summary

1. ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 看 $f(x)\to 0$ 的速度（无穷小的阶数）。
2. ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ ，其中 ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x=\infty )$ 看 $f(x)\to \infty$ 的速度（无穷大的阶数）。

敛散性判别

无穷区间

比较判别法

函数 $f(x),g(x)$ 区间连续，且 $0\le f(x)\le g(x)(a\le x<+\infty )$ ，则：

1. ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛， ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；
2. ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散， ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 也发散。

Tip

大的收敛，小的也收敛；小的发散，大的也发散。

类比 放缩法

比较判别法的极限形式

重要

函数 $f(x),g(x)$ 区间连续，且 $f(x)\ge 0,g(x)>0,{\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ （有限或 $\infty$），则：

1. $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \ne \infty$： ${\int }_{+\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_{+\infty }^{a}g(x)\mathrm{d}x$ 有相同敛散性；
2. $\lambda =0$ ：若 ${\int }_{+\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_{+\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；
3. $\lambda =\infty$ ：若 ${\int }_{+\infty }^{a}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_{+\infty }^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。

Tip

看二者谁趋于零的速度更快。

类比计算极限 无穷小的比阶

无界函数

比较判别法

$f(x),g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，瑕点同 $x=a$ ，且 $0\le f(x)\le g(x)(a<x\le +\infty )$ ，则：

1. 当 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛， ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；
2. 当 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散， ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发散。

Tip

同 无穷区间 理解。

比较判别法的极限形式

$f(x),g(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，瑕点同 $x=a$ ，且 $f(x)\ge 0,g(x)>0(a<x\le b),{\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$ （有限或 $\infty$） ，则：

1. $\lambda \ne 0$ 且 $\lambda \ne \infty$： ${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_b^{a}g(x)\mathrm{d}x$ 有相同敛散性；
2. $\lambda =0$ ：若 ${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；
3. $\lambda =\infty$ ：若 ${\int }_b^{a}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。

两个重要结论

熟记

1. ${\int }_0^1\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{l}\text{ 收敛, }0<p<1\\ \text{ 发散, }p\ge 1\end{array}$

2. ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{l}\text{ 收敛, }p>1\\ \text{ 发散, }p\le 1\end{array}$

Tip

推广：将 $x$ 替换为 $\sin x$ 等趋向 $0$ 的速度一样的函数均可使用以上结论。 ${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{l}\text{ 收敛, }0<p<1\\ \text{ 发散, }p\ge 1\end{array}$ ${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^p}\mathrm{d}x\{\begin{array}{l}\text{ 收敛, }p>1\\ \text{ 发散, }p\le 1\end{array}$

小结

Summary

对于反常积分判别收敛：

1. 放缩法；
2. 计算法；
3. 4 个结论（2 个重要结论+2 个题目里的，参考上方的 tip）

开始学习计算：反常积分的计算