反常积分的计算

Note

往往在收敛的情况下进行计算。

注意奇点（端点和内部）。

Example

${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{|x-x^2|}}$ 注意内部： $x=1$ 时分母为 $0$ ，且 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\infty$ ，因此是无界函数。

原式拆分+去绝对值得：$={\int }_{\frac{1}{2}}^1\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\mathrm{d}x+{\int }_1^{\frac{3}{2}}\frac{1}{\sqrt{x^2-x}}\mathrm{d}x$

使用凑微分法，代入基本积分公式可得：$=\arcsin \frac{\frac{x-1}{2}}{\frac{1}{2}}{|}_{\frac{1}{2}}^1+\ln \left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-(\frac{1}{2}{)}^2}\right){|}_1^{\frac{3}{2}}$ $=(\frac{\pi }{2}-0)+\left(\ln \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\ln \frac{1}{2}\right)$ $=\frac{\pi }{2}+\ln (2+\sqrt{3})$

对于本章，推荐直接开始计算书上例题。

一些好用的结论

${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\mathrm{d}x=1$

其实这就是 Gamma函数