计算

极限的四则运算

若 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=b$，则：

1. $\lim [kf(x)\pm l\lim g(x)]=kA\pm lB$
2. $\lim [f(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$
3. 若 $\lim f(x)$ 存在，且 $n$ 为正整数，则 $\lim [f(x){]}^n=[limf(x){]}^n$
4. $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

Caution

1. 只有函数极限 存在 才可以拆开合并；
2. 如果 $\lim f(x)=A\ne 0$ ，那么 $\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)$

一些结论

• 若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A$，且 $\lim g(x)=0$，则 $\lim f(x)=0$；
• 若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A\ne 0$，且 $\lim f(x)=0$，则 $\lim g(x)=0$。

洛必达法则

$\frac{0}{0}$ 型

1. 当 $x\to a$ （或 $x\to \infty$）时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都趋于零；
2. $f’(x)$ 和 $F’(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内（或当 $x$ 非常大时）存在，且 $F’(x)\ne 0$；
3. ${\lim }_{x\to a/\infty }\frac{f(x)}{F(x)}$ 存在或为无穷大。

$\frac{\infty }{\infty }$ 型

1. 当 $x\to a$ （或 $x\to \infty$）时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都趋于无穷大；
2. $f’(x)$ 和 $F’(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内（或当 $x$ 非常大时）存在，且 $F’(x)\ne 0$；
3. ${\lim }_{x\to a/\infty }\frac{f(x)}{F(x)}$ 存在或为无穷大。

Tip

• 结果存在 $\to$ 原式存在： 右存在，则左存在；但左存在，不一定右存在。
• 若一次运算的结果仍然满足洛必达法则的条件，可继续使用洛必达法则。
• （超纲）只要上下能求导，且下方为无穷，也可以使用洛必达。
• 经常配合泰勒公式 进行计算

泰勒公式

设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x=0$ 的一个邻域，对于该邻域内任一点 $x$ ，有 $f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$ $o(x^n)$ 佩亚诺余项

常用泰勒公式

Important

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$ $(1+x{)}^a=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$ $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
• $\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $(1+x{)}^a=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}+o(x^2)$
• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$

无穷小的运算

两个重要极限

1. $\sin x/x$

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

2. $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

$x>0$ 时的性质

• $f(x)$ 单调减少
• ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=e$
• $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\sim -\frac{e}{2}x(x\to 0^{+})$

夹逼准则

如果 $f(x),g(x),h(x)$ 满足：

$h(x)\le f(x)\le g(x)$ $\lim g(x)=A,\lim h(x)=A$

则 $\lim f(x)$ 存在，且：

$\lim f(x)=A$

七种未定式的计算

考研数学的 函数极限计算题 一般可以归纳为下列 $7$ 种未定式：

$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\cdot \infty ,\infty -\infty ,{\infty }^0,0^0,1^{\infty }$ 解题思路：

1. 化简先行
   1. 提出极限不为 0 的因式
   2. 等价无穷小代换
   3. 恒等变形（提公因式、拆项合并、分子分母同时除以最高次幂、换元法）
2. 判断类型
3. 选择方法（洛必达、泰勒、夹逼准则等）

1. $\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\cdot \infty ,$

$0\cdot \infty ,$

$\lim a\ast b=\lim \frac{a}{\frac{1}{b}}$

简单因式下放

• 简单： $x^{\alpha },e^{\beta x},\sin \gamma x$
• 复杂： $\arcsin x,\arctan x,\ln x,\cdots$

$\infty -\infty$

• 如果函数中有分母，则通分，将加减法变为乘除法
• 如果没有分母，可以提取公因式或作倒带换，出现分母后通分

${\infty }^0,0^{\infty }$

$$\lim u^v=e^{\lim v\ln u}$$

$1^{\infty }$

$$\lim u^v=e^{\lim (u-1)v}$$