概念

Tldr

多元微分的概念

邻域

$\delta$ 邻域

Info

联系一元函数的 邻域

在二维平面内的 $\delta$ 邻域是关于一个点 $P_0(x_0,y_0)$ 的。所有和该点的 距离 小于某正数 $\delta$ 的点的全体，称为 点 $P_0$ 的 $\delta$ ，记为 $U(P_{0,}\delta )$。

$U(P_0,\delta )=\{P||P{P}_0|<\delta \}$

或 $U(P_0,\delta )=\left\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta \right\}$

去心 $\delta$ 邻域

不包含 $P_0$ 点的 $\delta$ 邻域。

$\mathring{U}(P_0,\delta )=\{P|0<|P{P}_0|<\delta \}$

Note

如果不需要强调邻域的半径 $\delta$ ，则其去心邻域记作 $\mathring{U}(P_0)$。

极限

函数极限的定义

联系一元函数的

若：

• 函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上有定义；
• $P_0$ 在区域内或边界上；
• 对于 $\forall \epsilon >0$ ，总 $\exists \delta >0$ ，且满足 $0<|P{P}_0|<\delta$ ：
• 恒有 $|f(x,y)-A|<\epsilon$

则称常数 $A$ 为 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时 $f(x,y)$ 的极限，记作：

${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$

或： $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)=A$

也常记作： ${\lim }_{P\to P_0}f(P)=A$

这种极限我们一般称之为：二重极限。

Note

• 一元函数的极限只有两种趋近方式（正负），但在多元函数里面有无数种趋近方式（弯弯绕绕）；
• 若两种趋近方式得出的值不相等，或某一路径极限值不存在，则极限不存在；
• 除 洛必达法则和 单调有界准则 以外，可照搬一元函数求极限的方法求二重极限，如
  • 唯一性；
  • 局部有界性；
  • 局部保号性；
  • 运算规则；
  • 脱帽法。
• 等价无穷小 替换、夹逼准则 等技巧也是可以用的。

连续

如果 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$ ，则称函数在 $(x_0,y_0)$ 点连续。

如果函数在区域上每个点都连续，则函数在区域上连续。

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偏导数

Note

开始进入多元微分学的核心概念

定义

函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 某邻域有定义，如果极限：

${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

存在，则此极限为函数在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}},\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}},z_x^{\prime }{|}_{\begin{array}{c}x=x_0\\ y=y_0\end{array}}或f_x^{\prime }(x_0,y_0)$

即：$f_x^{\prime }(x_0,y_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$

Note

对 $y$ 求偏导数同理，此处不再赘述。

偏导函数

若 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的每一点都有偏导数，则偏导数的集合（一般来说也是 $x,y$ 的函数）称为 $f(x,y)$ 的偏导函数，简称偏导数，记作：

$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},f_x^{\prime }(x,y)$

$y$ 同理。

可视化解释（几何意义）

Tip

• 一元导数 $\to$ 单一方向上的变化率
• 方向导数 $\to$ 任意方向上的变化率 $\to$ 偏导数

想象从山顶上向下走，如何找到最快的路径？

计算每个方向的导数，寻找最快下降的路线。

偏导数只考虑沿 $x$ 轴或沿 $y$ 轴的变化率，是方向导数的特殊情况。

用 $x$ 轴或 $y$ 轴平行平面和曲面相交，得到一条交曲线，再对该曲线进行研究。

高阶偏导数

若二元函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数仍有偏导数，则称之为二阶偏导数。

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xx}^{\prime \prime }(x,y)=z_{xx}^{\prime \prime }$

$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=f_{xy}^{\prime \prime }(x,y)=z_{xy}^{\prime \prime }$

Note

对应的还有 $f_{yy}^{\prime \prime },f_{yx}^{\prime \prime }$ ，此处不再赘述。

其中 $f_{xy}^{\prime \prime },f_{yx}^{\prime \prime }$ 称为二阶混合偏导数。类似的可以定义 $n(n\ge 3)$ 阶偏导数。

简化

Question

二阶混合偏导数太复杂怎么办？

如果 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $f_{xy}^{\prime \prime },f_{yx}^{\prime \prime }$ 都在区域连续，则区域内： $f_{xy}^{\prime \prime }=f_{yx}^{\prime \prime }$ 即：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的顺序无关。

Summary

• 求一点处的偏导数一般使用定义法；
• 求区域内偏导数一般使用公式法。

可微

Note

回忆 微分的概念

把正方形 $x$ 换成长方形 $x,y$ ：

面积的增量为： $\Delta S=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy=y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y$

其由两部分组成：

• $y\Delta x+x\Delta y$ ：他是关于 $\Delta x,\Delta y$ 的线性函数；
• $\Delta x\Delta y$ ：他是比 $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ 的高阶无穷小量。即：

$\Delta S=y\Delta x+x\Delta y+o(\rho )(\rho \to 0)$

1. $y\Delta x+x\Delta y$ 是 $\Delta S$ 的主要部分；
2. $o(\rho )$ 是 $\Delta S$ 与 $y\Delta x+x\Delta y$ 之间的误差；
3. 称 $y\Delta x+x\Delta y$ 为函数 $S=xy$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分。

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某实心邻域有定义，若该点的全增量 $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$ 其中 $A,B$ 仅与点 $(x,y)$ 有关而与 $\Delta x,\Delta y$ 无关； $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，且当 $\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$ 时， $o(\rho )$ 为 $\rho$ 的高阶无穷小，则称：

• 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微分；
• $A\Delta x+B\Delta y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的全微分，记为：$\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y$

Note

联系一元微分：

• $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ ：二元的情况也是一样的，只不过两个自变量都增加；
• $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ：也是主要部分+距离 $\Delta x$ 的高阶无穷小，但是二元的高阶无穷小是两个变量的距离了；
• 二元因为有两个自变量，所以叫 全 微分。

可微的必要条件

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则该点偏导数必存在，且 $A=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}$

由此可得，若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则全微分可记为：

$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y$

Note

切线 → 切平面，各个方向的变化率 可以用平面上的点的值代替曲面上的点的值 全增量=线性增量+高阶无穷小（高度差）

可微的充分条件

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数存在且连续，则该函数在点 $(x,y)$ 处可微。

Note

• 区域上，若全微分为 $0$ ，则区域上 $f(x,y)=C$ (常数)
• 判别函数在点 $(x_0,y_0)$ 处偏导数是否连续步骤如下：
  • 定义法求 $f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$；
  • 公式法求 $f_x^{\prime }(x,y),f_y^{\prime }(x,y)$
  • 计算 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_x^{\prime }(x,y),\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_y^{\prime }(x,y)$
  • 若 $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_x^{\prime }(x,y)=f_x^{\prime }(x_0,y_0),\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }{f}_y^{\prime }(x,y)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$，则在该点偏导数连续。
• 一元函数和多元函数在极限存在、连续、可导、可微的联系与区别：

可微的判别步骤

判别函数 $z=f(x,y)$ 在点 $x_0,y_0$ 处是否可微：

1. 写出全增量 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$；
2. 写出线性增量 $A\Delta x+B\Delta y$，其中 $A=f_x^{\prime }(x_0,y_0),B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$；
3. 作极限 $\underset{\begin{array}{c}\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$，若极限等于 $0$ （是高阶无穷小），则在该点可微。