放缩法

1. 简单的放大与缩小

有穷项相加 $n{u}_{min}\le u_1+u_2+\cdots +u_n\le n{u}_{max}$ 无穷项相加 $当u_i\ge 0时，u_{max}\le u_1+u_2+\cdots +u_n\le n{u}_{max}$

2. 利用重要不等式

重要

Important

第 $1,2,4,12$ 条重要

第 $5$ 条常考

1 绝对值不等式

$$\mid a\pm b\mid \le \mid a\mid +\mid b\mid$$ $$\mid \mid a\mid -\mid b\mid \mid \le \mid a-b\mid$$ $$\mid a_1\pm a_2\pm \cdots \pm a_n\mid \le \mid a_1\mid +\mid a_2\mid +\cdots +\mid a_n\mid$$

2. 基本不等式

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$ $$\mid ab\mid \le \frac{a^2+b^2}{2}$$ $$\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}$$

3

$$设a\ge b\ge 0，则\{\begin{array}{l}m>0,a^m\ge b^m\\ m<0,a^m\le b^m\end{array}$$

4

$$若0<a<x<b,0<c<y<d,则\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$$

5

$$\sin x<x<\tan x\left(0<x<\frac{\pi }{2}\right)$$

6

$$\sin x<x(x>0)$$

7

$$0<x<\frac{\pi }{4}时,x<\tan x<\frac{4}{\pi }x$$

8

$$0<x<\frac{\pi }{2}时,\sin x>\frac{2}{\pi }x$$

9

$$\arctan x\le x\le \arcsin x(0\le x\le 1)$$

10

$$e^x\ge x+1$$

11

$$x-1\ge \ln x(x>0)$$

12 利用拉格朗日值中值定理

$f(t)=\ln x和f(t)=\ln (1+t)$ 即可证明

$$\frac{1}{x+1}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}(x>0)$$ $$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$$

Info

3. 闭区间连续函数性质

闭区间上连续函数必有最大值和最小值。

4. 压缩映射原理

5. 利用题设条件来推证