不定积分

原函数与不定积分

设函数 $f(x)$ 定义在某区间上，若存在可导函数 $F(x)$ 在区间内都有 $F’(x)=f(x)$ ，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间上的一个原函数。

称 $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在区间上的不定积分。

Tip

• 不定积分表达的是全体原函数；定积分 才是真正的运算。
• 不定积分的 $\int \mathrm{d}x$ 不是运算符，而是记号。

Attention

仅仅熟悉概念是不够的。请结合 例 8.1 理解。 原函数一定要处处可导，否则他不能成为任何函数的原函数！

积分中值定理

设 $f(x)$ 连续，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使：

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$

Tip

这条定理可以将积分转化为函数的形式。每当看到积分与函数混合计算，则借助积分中值定理统一为函数。 一般使用时，函数上下限 $a,b$ 为 $x,x+\Delta x$ ，当 $\Delta x\to 0,\xi \to x$ （夹逼）。

不定积分存在定理

Info

也是原函数存在定理

困难

1. 连续函数 $f(x)$ 必有原函数 $F(x)$。

$$f(x)连续\Rightarrow \int f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{x}f(t)dt+C$$

Attention

该公式十分 重要

2. 含有第一类间断点和无穷间断点的函数在包含间断点的区间内必没有原函数。

个人的一点简单理解（不一定正确）

函数存在导函数说明函数值离的很近，为 $x-x_0$ 的高阶无穷小，所以在该点的斜率一定是连续取值，但可能会出现震荡，也就是说判断一个函数是否有原函数，可以从一个函数求导后可以得到什么样的函数思考，一个函数求导后得到的函数一定是连续的，但可能会出现震荡现象

Info

忘记了？赶快看下间断点的分类：间断点的定义和分类

开始学习计算：不定积分的积分法