连续与间断

Info

• 无定义点（必间断）
• 分段点 （未必间断）

连续点的定义

设函数 $f(x)$ 在 点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，且有 ${\lim }_{x\to x_0}=f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续

Tip

• ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x)⟺f(x)在点x_0处连续$
• $\Rightarrow f(x)=f(x_0)+o((x-x_0{)}^0)$
• 连续性的运算法则
  • 四则运算：两函数均在某点连续，二者进行四则运算后也在该点连续。（做除法时注意被除数不能为零。）
  • 复合函数：两函数在某点连续，复合后仍在该点连续。
  • 反函数：某函数在某区间 单调且连续 ，其反函数在对应区间连续且 单调性不变 。
• 设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，且 $f(x_0)>0$（或 $f(x_0)<0$), 则存在 $\delta >0$, 使得当 $\mid x-x_0\mid <\delta$ 时 $f(x)>0或f(x<0)$ (类似函数的保号性)

间断点的定义和分类

Info

$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义

第一类间断点

可去间断点

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\ne f(x_0)$

跳跃间断点

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

第二类间断点

无穷间断点

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty 或\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty 或\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$$

震荡间断点

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)震荡不存在$$