变限积分

概念

就是变上下限的定积分。把积分上下限改成变量，而被积的函数本身用了另一个参数。

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

上式被称为变上限的定积分；同理可推变下限和上下限都变的定积分。这些都是变限积分。

Note

变限积分的主要自变量是上下限。积分本身只是一种计算的手段，自带的那个积分变量不对整个函数造成影响。

性质

Attention

以下内容均使用 $f(x)$ 代表被积函数， $F(x)$ 代表其变限积分。

1. $f(x)$ 区间可积，则 $F(x)$ 区间内连续；

Tip

意味着：若 $F(x)$ 存在，则一定连续。

2. $f(x)$ 区间连续，则 $F(x)$ 区间内可导，且 $F^{\prime }(x)=f(x)$； 重要
3. 若 $x_0$ 是区间内唯一跳跃间断点，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 处不可导，且 $F(x_0)$ 左导等于 $f(x_0)$ 左极限，右导等于右极限；
4. 若 $x_0$ 是区间内唯一可去间断点，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $F^{\prime }(x_0)$ 导数等于 $f(x_0)$ 极限。

Info

间断点详见：间断点的定义和分类

开始学习计算：变限积分的计算