变限积分的计算

Tip

变限积分是一个关于 $x$ 的函数。其相关问题几乎都是函数问题。

求导公式

必考

已知变限积分 $F(x)$ ：

$F(x)={\int }_{{\phi }_{}(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x)\mathrm{d}x$

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，${\phi }_1(x),{\phi }_2(x)$ 值域在 $[a,b]$ ，则两函数公共定义域上有：

$F^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[{\int }_{{\phi }_{}(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x)\mathrm{d}x\right]=f[{\phi }_{2}x]{\phi }_2^{\prime }(x)-f[{\phi }_{1}x]{\phi }_1^{\prime }(x)$

Tip

上限代入 $f(x)$ ，乘以上限求导；减去下限代入 $f(x)$ ，乘以下限求导。

Example

${\left({\int }_{x^2}^{{\sin }^{2}x}f(t^2)\mathrm{d}t\right)}^{\prime }$ $=f[({\sin }^{2}x{)}^2]\cdot (2\sin x\cos x)-f[(x^2{)}^2]\cdot (2x)$

Note

上方公式中的 $x$ 被称为 求导变量， $t$ 被称为 积分变量。当被积函数只含有积分变量时才可以使用求导公式！

若被积函数中有求导变量，则必须通过恒等变形（变量代换等）将其 移出被积函数 才可以使用变限积分求导公式。

例如：当被积函数为 $f(t,x)$ 时，不可以使用求导公式。

但如果 $f(t,x)$ 可以被拆成 $f(t)$ 和 $g(x)$ ，则可以将 $g(x)$ 直接从积分里面提出去。

重要结论

必考

1. 若 $f(x)$ 为可积奇函数：
   1. ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 为偶函数；
   2. ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 为偶函数（$a\ne 0$）

   Tip

   • 奇函数求导为偶函数；奇函数进行变限积分也是偶函数。
   • 若 $f(x)$ 为连续奇函数，其全体原函数均为偶函数。

2. 若 $f(x)$ 为可积偶函数：
   1. ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 为偶函数；
   2. ${\int }_a^{x}f(t)$ ：
      1. 若 ${\int }_a^{x}f(t)={\int }_0^{x}f(t)$，为奇函数
      2. 若 ${\int }_a^{x}f(t)\ne {\int }_0^{x}f(t)$，非奇非偶函数

   Tip

   • 因为奇函数要求必须过原点，所以结论会比上方更复杂一点
   • 若 $f(x)$ 为连续偶函数，则 $f(x)$ 全体原函数中，只有 ${\int }_0^{x}f(t)$ 是奇函数。

3. $f(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，则 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 也是周期为 $T$ 的周期函数 $\iff$ ${\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x=0$

Summary

$f(x)奇可导\Rightarrow f^{\prime }(x)偶$ $f(x)奇可积\Rightarrow {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t偶,\forall a$ $f(x)偶可导\Rightarrow f^{\prime }(x)奇$ $f(x)偶可积\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t奇$ $f(x)T周期\Rightarrow f^{\prime }(x)T周期$ $\{\begin{array}{c}f(x)T周期\\ {\int }_0^{T}f(x)\mathrm{d}x=0\end{array}\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}tT周期,\forall a$