导数

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{{\lim }_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

两种写法

拉格朗日： $f’(t)$ 莱布尼茨： $\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}$

注意

1. $\Delta x$ 可以广义化，变成超级小狗：

${\lim }_{狗\to 0}\frac{f(x_0+狗)-f(x_0)}{狗}$

2. 如果令 $x_0+\Delta x=x$ ，导数定义式还可以被写为：

$f’(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3. 以下三种说法等价：

   • $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导；
   • $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处导数存在；
   • $f’(x_0)=A$ （ $A$ 为有限数 ）。

4. 函数在一点可导的充要条件：

   • 函数在某一点的变化率是存在的；
   • 或：函数在某一点的左导数与右导数存在且相等。

5. 函数在一点可导的必要条件：

   • 若 $f(x)$ 在一点可导，则 $f(x)$ 在该点连续。

   Tip

   连续不一定可导，可导一定连续。

   想 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处。

6. 函数在某点可导不能推出其附近可导。

7. 求导后，函数的奇偶性会互换。

绝对值求导

$|f(x)|’=\frac{f(x)f’(x)}{|f(x)|}(f(x)\ne 0)$

导数的意义

使用中心点的值以及导数值，去估计附近的值。

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f’(x_0)$$ $$\Rightarrow f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0{)}^1)$$

观察无穷小的阶数（为 1），配合 连续点的定义 可知：可导比连续可以更精确地估计函数值。