积分等式

用中值定理

设 $f (x), g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $g (x)$ 不变号，则存在 $ξ$ 使：

$\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = f (ξ) \int_{a}^{b} g (x) d x$

Note

如果题目没有要求证明，则可以直接使用该结论。

一般要求

Example

计算： $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} (n + 1) x^{n} ln (1 + n) d x$

凑微分：

$\int_{0}^{1} ln (1 + x) d x^{n + 1}$

反对幂指三，使用积分部分进行分部积分 $u d v$ ：

$= x^{n + 1} ln (1 + x)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{n + 1} \frac{1}{x + 1} d x$

$= ln 2 - \int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1}}{x + 1} d x$

因此再对内部积分部分进行极限计算。题目变为：

$\Rightarrow lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1}}{x + 1} d x$

放缩&夹逼：

$0 \leq \frac{x ^{n + 1}}{x + 1} \leq \frac{x ^{n + 1}}{0 + 1} = x^{n + 1}$

$\Rightarrow 0 \leq \int_{0}^{1} \frac{x ^{n + 1}}{x + 1} \leq \int_{0}^{1} x^{n + 1} = \frac{x ^{n + 2}}{n + 2}_{0}^{1} = \frac{1}{n + 2}$

当 $n \to \infty$ ， $\frac{1}{n + 2} \to 0$ ，中间被夹逼到 $0$ 。

所以答案为 $ln 2$ 。