中值定理

Tip

10 大定理，无需证明直接用！！

涉及函数的定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，则：

1. 有界与最值定理

$m\le f(x)\le M$ ，其中 $m,M$ 分别为闭区间内最小值与最大值。

Summary

函数一定有界，且拥有最大最小值。

2. 介值定理

当 $m\le \mu \le M$ ，存在 $\xi \in [a,b]$ ，使 $f(\xi )=\mu$

Summary

最大最小值包裹的范围内，函数必经过其中每一个值。

在 $[m,M]$ 之间画一条水平直线，其与函数至少有一个交点。

3. 平均值定理

当 $a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得：

$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

提示

想象一个数轴，在 $(a,b)$ 间插入 $n$ 个点，则这 $n$ 个插入点的平均值一定存在于 $[x_1,x_n]$ 范围内。

4. 零点定理

当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=0$。

Summary

两点异号，中间必穿零点。

Tip

题目一般不会直接让你求证 $f(\xi )=0$ ，往往需要经过一次逆运算，构造新的函数。（例 6.1）

推广

$f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续， ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\alpha$ ， ${\lim }_{x\to b^{-}}f(x)=\beta$ ，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个根。

Tip

$a,b,\alpha ,\beta$ 可以是有限数，也可以是无限大。

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涉及导数（微分）的定理

5. 费马定理

若函数在 $x_0$ 满足：

1. 可导；
2. 取极值，

则 $f’(x_0)=0$ 。

Tip

速度为 0 时跑得最远，加速度为 0 时跑得最快。

Info

导数零点定理

参考 4. 零点定理

例 6.3： 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可导，若端点导数值异号，则 $(a,b)$ 内必有一点导数为 $0$ 。

Attention

请区分：$f(x)$ 在闭区间可导 & $f’(x)$ 在闭区间连续。 函数可导：导函数存在，但不一定连续。

[!费马大定理]- $x^n+y^n=z^n$ ：任何 $n>2$ ，一定没有正整数解。

我已经有了一个绝妙的证明，但是这里空间太小写不下了。

6. 罗尔定理

设函数 $f(x)$ 满足：

1. $[a,b]$ 连续；
2. $(a,b)$ 可导；
3. $f(a)=f(b)$ ，

则：内部存在导数为 $0$ 的点。

Info

Tip

看到 $f’(x_0)=0$ ，就想 5. 费马定理 或罗尔定理。

多次罗尔定理

设 $f(a)=f(b)=f(c)=0$ ，

有 ${\xi }_1\in (a,b),{\xi }_2\in (b,c)$ 使：

$f’({\xi }_1)=f’({\xi }_2)=0$

再使用一次罗尔：有 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)$ 使： $f’’(\xi )=0$

记住这个笑脸

罗尔定理推广

区间 $(a,b)$ 可以是无穷区间；端点（极限）值可以是无穷大。

辅助函数

Note

考研主要侧重于简单构造，请勿过于沉迷构造辅助函数。

参考： 四则运算

• $f’(x)+f(x)\Rightarrow F(x)=f(x)e^x$
• $f’(x)-f(x)\Rightarrow F(x)=f(x)e^{-x}$
• $f’(x)\cdot f(x)\Rightarrow F(x)=f^2(x)$
• $f’(x)/f(x)\Rightarrow F(x)=\ln f(x)$

Tip

• 注意广义化！
• 这些辅助函数不仅限于罗尔定理。
• 有的题目可能涉及到多次罗尔定理： $f(a)=f(b)=f(c)$ ，三者中间有两点为 0，再对这两点使用罗尔可得二阶导为 0。

7. 拉格朗日中值定理

Tip

这个定理很简单，但是实际做题会有障碍。注意观察题目条件，来判断何时使用拉格朗日。

定理

设 $f(x)$ 满足：

1. $[a,b]$ 连续；
2. $(a,b)$ 可导，

则 $a,b$ 间存在点 $\xi$ 使：

$$f(b)-f(a)=f’(\xi )(b-a)$$

或者写成：

$$f’(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

提示

注意看：这个拉格朗日的图像是不是和 6. 罗尔定理 有点相似？因为他们两个就是一样的！只是拉格朗日更加一般化。

见到 $f(a)-f(b)$ 或者 $f$ 与 $f’$ 的关系：想到拉格朗日中值定理。

例题

证明： $\exists \xi \in (0,\frac{\pi }{2})$ 使 $x\cos \xi =\sin x$

1. 变形： $x\cos \xi =\sin x\Rightarrow \cos \xi =\frac{\sin x}{x}$
2. 联想： $\frac{f(b)}{b}\Rightarrow \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 拉格朗日
3. 发现： $a=0,f(a)=0$
4. 正向书写：令 $f(x)=\sin x$ ，有 $f’(\xi )=\cos \xi =\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sin x}{x}(x\in (0,\frac{\pi }{2}))$

个人经验

在题目中，许多情况需要使用 $a=0,f(a)=0$ 这个条件简化拉格朗日中值定理。

可以将原式化为： $f’(\xi )=\frac{f(b)}{b}$ 也可以直接将 $f(x)-f(0)$ 替换为 $f’(\xi )x$

8. 柯西中值定理

设 $f(x),g(x)$ 满足：

1. $[a,b]$ 连续；
2. $(a,b)$ 可导；
3. $g’(x)\ne 0$，

则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi )}{g’(\xi )}$$

Tip

往往考察一个具体函数，一个抽象函数。

柯西中值定理其实也只是把 7. 拉格朗日中值定理 写成了参数方程的形式。

Caution

不能使用两个拉格朗日相除得到柯西！因为两个不同函数的 $\xi$ 可能不相同！

9. 泰勒公式

Abstract

用多项式逼近/近似一个函数

带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式

Info

前置参考：导数的意义，一定要看！

Summary

将导数的一阶可导推广到了 n 阶可导。

适用于点 $x=x_0$ 及其邻域，常用于研究点 $x=x_0$ 的某些结论。（极限，无穷小阶数，极值）是局部的。

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于邻域内任意点 $x$ 有：

$$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$

Tip

这个余项和之前的导数、连续一样，但是变成了 $n$ 阶

带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式

Summary

升级到了 $n+1$ 阶

适用于区间 $[a,b]$ ，常在证明题中使用（不等式、中值定理）

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 某个邻域 $n+1$ 阶导数存在，对邻域内任意点 $x$ 有：

$$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

Tip

这个余项就是之前的通项，只不过将 $x_0$ 替换为了介于 $(x,x_0)$ 之间的 $\xi$ 。

麦克劳林公式

当 $x_0=0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式。

$$f(x)=f(0)=f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$ $$f(x)=f(0)=f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$$

重要麦克劳林展开式

牛顿插值法

补充内容

Tip

与泰勒公式结合，加深对泰勒公式的理解

已知两个点的信息，求中间值。也是多项式拟合。

$$y_1=f(x_1),y_2=f(x_2)$$ $$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ $$y=\frac{y_2-y-1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$$

令 $f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$

Info

因为为线性插值，误差较大，因此加上一个补充项 $b(x-x_1)(x-x_2)$

$f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+b(x-x_1)(x-x_2)$

然后将中间某点代入，反解求出 $b$ 。

涉及函数的定理

积分中值定理

Info

见 积分中值定理