微分不等式

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更多涉及逻辑性、证明性的问题。

用函数性态证明不等式

包括单调性、凹凸性、最值等

Info

单调性与极值的判别 凹凸性与拐点的判别 最值或取值范围

1. 若有 $f’(x)\ge 0,a<x<b$ ，则有 $f(a)\le f(x)\le f(b)$；
2. 若有 $f’’(x)\ge 0,a<x<b$ ，则有 $f’(a)\le f’(x)\le f’(b)$：
   1. 当 $f’(a)>0$ 时， $f’(x)>0$ ，函数单增；
   2. 当 $f’(b)<0$ 时， $f’(x)<0$ ，函数单减；
3. 设 $f(x)$ 区间内连续，且有唯一极值点 $x_0$ ，则：
   1. 若 $x_0$ 为极大值点，则为区间内最大值点；
   2. 若 $x_0$ 为极小值点，则为区间内最小值点；
4. 若 $f’’(x)>0,a<x<b,f(a)=f(b)=0$ ，则有 $f(x)<0$ 。

因为 $f(a)=f(b)=0$ ，所以必须先减后增，一阶导数先负后正，二阶导数恒正

用常数化变量证明不等式

如果需要证明的不等式中都是常数，则可以将其中一个或几个常数变量化，再利用导数工具取证明。

用中值定理证明不等式

主要用到： 7. 拉格朗日中值定理 9. 泰勒公式