凹凸性与拐点的判别

判别凹凸性

设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导：

1. 若 $f’’(x)>0$ ，则 $f(x)$ 为凸；
2. 若 $f’’(x)<0$ ，则 $f(x)$ 为凹。

二阶可导点是拐点的必要条件

设 $f’’(x)$ 存在，且 $x_0$ 点为拐点，则 $f’’(x_0)=0$ 。

注

若一个点为拐点，则只有以下两种情况：

1. $f’’(x)=0$ ，如 $y=x^3$
2. $f’’(x)$ 不存在，如 $y=\sqrt[3]{x}$

Attention

尖点也可以是拐点。

判别拐点的充分条件

第一充分条件

最常用方法

• 在 $x_0$ 点连续；
• 去心邻域内二阶导数存在；
• 左右邻域 $f’’(x)$ 变号：

该点为拐点。

Tip

类比 第一充分条件 左右邻域一阶导数变号为极点；二阶导数变号为拐点。

第二充分条件

• 在 $x_0$ 邻域内三阶可导；
• $f’’(x)=0,f’’‘(x)\ne 0$：

该点为拐点。

Tip

类比 第二充分条件 左右邻域二阶导数不为 0 为极点；三阶导数不为 0 为拐点。

第三充分条件

• 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导
• 且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=2,3,\cdots ,n-1)$
• $f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 3)$

则 $n$ 为奇数时，该点为拐点。

Tip

类比第三充分条件