最值或取值范围

最值的定义

函数定义域内任一点均有 $f(x_0)\le f(x)$ ，则 $x_0$ 为最大值点。反之为最小值点。

与极值的关系

结合极值的定义：

Attention

极值点不一定是最值点；最值点不一定是极值点。

1. 极值要求该点导数为 $0$ 且左右均有定义，但最值不要求。（端点最值情况）
2. 极大值/极小值只需要在其附近邻域最大/最小即可，但最值需要在整个定义域最大/最小。

考虑 $f(x)=e^x(x\ge 0)$ 和 $f(x)=3x-x^3$

但是以下说法正确：

Quote

如果 $f(x)$ 在区间上有最值点 $x_0$ ，且最值点不在端点而在内部，则 $x_0$ 必是极值点。

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求解最值

Tip

驻点：一阶导为 $0$ ； 不可导点：一阶导不存在。

连续函数闭区间最大最小值

1. 求出可疑点：驻点、不可导点的函数值；
2. 求出端点函数值；
3. 比较所有函数值，解出最大最小值。

连续函数开区间的最值或取值范围

1. 求出可疑点：驻点、不可导点的函数值；
2. 求开区间端点的单侧极限；
3. 比较并求解。

Tip

题目可能包装为：求函数在开区间的值域。

注

• 此类问题有时没有最值；
• 单侧闭区间值需要在开区间的结果的基础上加上闭合点函数值；
• 可用于求解 数列最大项 。