平面图形的面积

Note

假设以下曲线均连续。

直角坐标系

曲线 $a$ 与曲线 $b$ 围成的平面图形面积：

Example

$S={\int }_a^b|y_1(x)-y_2(x)|\mathrm{d}x$

极坐标系

两曲线与两射线围成的曲边扇形的面积

${\int }_{\alpha }^{\beta }|r_1^2(\theta )-r_2^2(\theta )|\mathrm{d}x$

Tip

小曲边扇形可以看作两个三角形相减。当 $\theta \to 0$ ，两底角可视作 $90°$ ，面积为 $\frac{1}{2}r\cdot r\mathrm{d}\theta$

参数方程

求参数方程曲线与 $x$ 轴围成的面积。

做题思路比较简单，为：

1. 将参数方程转化为 $y=f(x)$ 形式的函数；
2. 再使用 $S={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 求解。

$\{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\Rightarrow y=f(x)$

因为函数形式的 $f(x)$ 可能会过于复杂写不出来，因此使用换元法，让 $t$ 作为自变量，以此作为桥梁，联系 $x$ 和 $y$。

把 $y=f(x)$ 内部的 $x$ 换掉，得到 $y=f(x(t))$ ；再复合 $f(x)$ 可得： $y=f(x(t))=y(t)$

Note

因为 $y=y(t)$ 和 $y=f(x)$ 的两个 $y$ 是输出的相同的东西。所以当我：

• 取 $x_0$ 对应 $y_0$
• 取 $t_0$ 对应 $x_0$ 再对应 $y_0$

二者是完全等价的，所以可以跳过中间步骤 $x_0$ 。这也可以理解为一种复合函数。

因此经过 定积分的换元积分法 的三换，可得：

${\int }_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)}f(x(t))x^{\prime }(t)\mathrm{d}t={\int }_{x^{-1}(a)}^{x^{-1}(b)}y(t)x^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

下面做一道例题来感受一下。

例题

例 10.2

已知摆线：$\{\begin{array}{c}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a>0)$ 求一拱与 $x$ 轴所围图形面积。

Note

考试时需要自己画图，题目不会告诉你。所以请记忆比较重要的函数图像。具体见书上附录部分。

首先确定 $x$ 的积分上下限：

$S={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{2\pi a}f(x)\mathrm{d}x$

换元，令： $x=a(t-\sin t)$

得： $f(x)=f(a(t-\sin t))=f(x(t))=y(t)=a(1-\cos t)$

所以最后换元到 $t$ 可得： $S={\int }_0^{2\pi }a(1-\cos t)\cdot a(1-\cos t)\mathrm{d}t$

以此我们便转化到了最简单的情况，接下来就是最基本的计算问题，不想看可以跳过。

计算

提出常数，整理可得： $=a^2{\int }_0^{2\pi }(1-\cos t{)}^2\mathrm{d}t$

如果想使用 华里士公式，则打开括号： $=a^2{\int }_0^{2\pi }(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)\mathrm{d}t$

拆开： $=a^2\cdot 2\pi -2a^2{\int }_0^{2\pi }\cos t\mathrm{d}t+a^2{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}t\mathrm{d}t$

使用华里士： $=a^2\cdot 2\pi -0+a^2\cdot 4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$

$=3\pi a^2$