不定积分的积分法

凑微分法

$\int f[g(x)]g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int f[g(x)]\mathrm{d}[g(x)]=\int f(u)\mathrm{d}u$

Tldr

若被积函数比较复杂，则拿出一部分放到 $\mathrm{d}$ 后面去（换元）。若能凑成基本函数形式，则成功。

$\int \frac{{\ln }^{5}x}{x}\mathrm{d}x=\int {\ln }^{5}x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int {\ln }^{5}x\mathrm{d}(\ln x)=\frac{{\ln }^{6}x}{6}+C$

也可以是变量的函数与变量的导数的乘积。此时也可以考虑凑微分法。

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换元法

令 $x=g(u)$：

$\int f(x)\mathrm{d}x⟹\int f[g(u)]\mathrm{d}[g(u)]=\int f[g(u)]g^{\prime }(u)\mathrm{d}u$

Tip

• 当被积函数不容易积分时 (根号、复杂分母、反三角函数) ，可以考虑使用换元。
• 计算结束别忘了回代。
• 核心思想：令复杂部分等于 $t$。

1. 三角代换

当被积函数包含如下根式，可用三角代换（这里 $a>0$）：

$\sqrt{a^2-x^2}\to 令x=a\sin t,|t|<\frac{\pi }{2}$

Tip

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\sqrt{a^2+x^2}\to 令x=a\tan t,|t|<\frac{\pi }{2}$

$\sqrt{x^2-a^2}\to 令x=a\sec t,\{\begin{array}{l}若x>0,0<t<\frac{\pi }{2}\\ 若x<0,\frac{\pi }{2}<t<\pi \end{array}$

Tip

${\tan }^{\prime }x=\frac{1}{co{s}^{2}x}={\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

2. 恒等变形后三角代换

当被积函数包含根式 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ 时，可先化为以下三种形式：

• $\sqrt{{\phi }^2(x)+k^2}$
• $\sqrt{{\phi }^2(x)-k^2}$
• $\sqrt{k^2-{\phi }^2(x)}$

再作代换。

3. 根式代换

Quote

“举重若轻”

当被积函数包含根式如：

• $\sqrt[n]{ax+b}$
• $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$
• $\sqrt{a{e}^{bx}+c}$
• $\cdots$

时，直接令根式 $\sqrt{\ast }=t$。

Tip

对于同时含有 $\sqrt[m]{ax+b}$ 和 $\sqrt[n]{ax+b}$ 的函数，取其最小公倍数。

Info

事实上，很难通过根号内换元的方法凑成平方，所以根号无法去掉。

4. 倒代换

当被积函数分母的幂次比分子高 2 次及以上时，令 $x=\frac{1}{t}$。

Example

$\int \frac{1}{x(x^3+1)}\mathrm{d}x$ $=\int \frac{x^2}{x^3(x^3+1)}\mathrm{d}x$ $=\frac{1}{3}\int \frac{1}{x^3(x^3+1)}\mathrm{d}{x}^3$ 令 $x^3=t$ $=\frac{1}{3}\int \frac{1}{t(t+1)}\mathrm{d}t$ $=\frac{1}{3}(\ln |t|-\ln |t+1|)+C$ $=\frac{1}{3}\ln \left|\frac{x^3}{x^3+1}\right|+C$

5. 复杂函数直接代换

当被积函数中含有 $a^x,e^x,\ln x,\arcsin x,\arctan x$ 等时，考虑将其直接等于 $t$。

Example

$\arcsin \sqrt{\frac{x}{a+x}}=t$

Tip

当 $\ln x,\arcsin x,\arctan x$ 与多项式或 $e^{ax}$ 作乘法时，优先考虑分部积分法。

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分部积分法

$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

Tip

• 适用于 $\int u\mathrm{d}v$ 求解困难，而 $\int v\mathrm{d}u$ 求解容易的情况；
• 可能需要多次使用分部积分。如果发现需要迭代的次数过多，请使用 分部积分法推广公式。

Info

分部积分法推导：

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 移项得： $u^{\prime }v=(uv{)}^{\prime }-u{v}^{\prime }$ 同时对两边进行不定积分： $\int u^{\prime }v\mathrm{d}x=uv-\int u{v}^{\prime }\mathrm{d}x$ 也可以写成： $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

如何选取 $u,v$ ？

$反对幂指三$ $u⟵⟶v$ $\arcsin x\ln x{x}^2{e}^x\sin x$

越靠左越不好积分，更易取 $u$ 用于求导，靠右好积分，则取 $v$ 用于积分。

Example

$\int \ln (1+x^2)\mathrm{d}x$ $=\int \ln (1+x^2)\cdot (x{)}^{\prime }\mathrm{d}x$ 换元，代分部积分公式： $=\int u\cdot v^{\prime }\mathrm{d}x$ $=uv-\int v\cdot u^{\prime }\mathrm{d}x$ 回代： $=x\ln (1+x^2)-\int x\cdot \frac{2x}{1+x^2}\mathrm{d}x$ 凑积分，拆分成为 基本积分公式： $=x\ln (1+x^2)-2\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}\mathrm{d}x$ $=x\ln (1+x^2)-2\left(\int 1\mathrm{d}x-\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x\right)$ 应用基本积分公式： $=x\ln (1+x^2)-2x+2\arctan x+C$

分部积分法推广公式

设 $u,v$ 均有 $n+1$ 阶连续导数，则：

$\int u{v}^{(n+1)}\mathrm{d}x=u{v}^{(n)}-u^{\prime }{v}^{(n-1)}+u^{{}^{\prime \prime }}{v}^{(n-2)}-\cdots +(-1{)}^n{u}^{(n)}v+(-1{)}^{(n+1)}\int u^{(n+1)}v\mathrm{d}x$

Example

上方公式不用记。用下面这个例子辅助理解： \begin{align} &\int x^{3}e^{x}\mathrm{d}x ~(n=2) \\ =&(x^{3}) (e^{x})^{''} - (x^3)^{'} (e^{x})^{'} + (x^3)^{''} (e^{x}) + \int (x^3)^{(3)} (e^{x}) \mathrm{d}x + C \\ =&x^{3} e^{x} - 3x^{2} e^{x} + 6x e^{x} + 6e^x + C \end{align}

$u$ 求导直到等于 $0$；再对 $v$ 进行积分直到次数相同。 左上加减右下，最后一个竖写积分，计算得到 $C$。

对

Info

对于 数学二 的同学，考研是有可能出现一道 10-12 分的大题考完 4 种不定积分的。请一定重视！

分部积分法有可能得到欲求积分的公式：

$\int \sin x\mathrm{d}(e^t)=e^t\sin t-e^t\cos t-\int \sin x\mathrm{d}(e^t)$ $\int \sin x\mathrm{d}(e^t)=\frac{1}{2}(e^t\sin t-e^t\cos t)$

详见 例9.5。

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有理函数的积分

定义

$\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}\mathrm{d}x(n<m)$

长成这样的积分被称作有理函数的积分。其中：

• $P_n(x)$ 是 $x$ 的 $n$ 次多项式；
• $Q_m(x)$ 是 $x$ 的 $m$ 次多项式。

Info

对于 $n\ge m$ 的 假分式，我们可以将其化为标准形式（真分式）例如：

$\frac{x^2}{x+1}=\frac{x^2+1-1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$

思想

若分母 $Q_m(x)$ 可因式分解，则将原式拆成若干项最简有理分式之和。

方法

可接受的最简分式

• $\frac{A}{ax+b}$
• $\frac{A}{(ax+b{)}^k}$
• $\frac{Ax+B}{p{x}^2+qx+r}$
• $\frac{Ax+B}{(p{x}^2+qx+r{)}^k}$

上方式中 $k>0,k\ne 1$ ，分母不为 $0$。

Tip

尽量将分子凑成分母的导数，便于凑微分：

$\int \frac{x-1}{x^2+1}\mathrm{d}x$ $=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x$ $=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-\arctan x+C$

拆分有理式

• 分母出现 $(ax+b)$，则最终结果中出现 $1$ 项：$\frac{A}{ax+b}$
• 分母出现 $(ax+b{)}^k$，则最终结果中出现 $k$ 项：$\frac{A_1}{(ax+b{)}^1}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(ax+b{)}^k}$
• 分母出现 $(p{x}^2+qx+r)$，则最终结果中出现 $1$ 项：$\frac{Ax+B}{p{x}^2+qx+r}$
• 分母出现 $(p{x}^2+qx+r{)}^k$，则最终结果中出现 $k$ 项：$\frac{A_{1}x+B_1}{(p{x}^2+qx+r{)}^1}+\frac{A_{2}x+B_2}{(p{x}^2+qx+r{)}^2}+\cdots +\frac{A_{k}x+B_k}{(p{x}^2+qx+r{)}^k}$

Example

例 9.8 $\int \frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1{)}^2}\mathrm{d}x$ $=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1{)}^2}\mathrm{d}x$ 计算 $A,B,C$： $4x^2-6x-1=A(2x-1{)}^2+B(x+1)(2x-1)+C(x+1)$ 此时可以使用 展开看系数列方程 求解，或者 代特殊 x 值消元（推荐） 求解。解得： $A=1,B=0,C=-2$ $原式=\int \frac{1}{x+1}-\frac{2}{(2x-1{)}^2}\mathrm{d}x$ $=\ln |x+1|+\frac{1}{2x-1}+C$