3_多维随机变量及其分布

n 维随机变及其分布函数

多维随机变量 $\text{定义：}$ 如果 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是定义在同一个样本空间上的 $n$ 个随机变量，则称 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为 $\text{n维随机变量}$ 或 $\text{n维随机向量}$，$X_i$ 为第 $i$ 个分量。

联合分布函数

$\text{定义：}$ 对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 称为 $n$ 元函数 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=P\{X_1⩽x_1,X_2⩽x_2,\cdots ,X_n⩽x_n\}$ 为 $n$ 为随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的 $\text{联合分布函数}$。 当 $n=2$ 时对任意的实数 $xy$ 称二元函数 $F(x,y)=P\{X⩽x,Y⩽y\}$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的 $\text{联合分布函数}$，简称 $\text{分布函数}$，记为 $(X,Y)\sim F(x,y)$。

性质：

• 单调性：$F(x,y)$ 是 $xy$ 的单调不减函数
• 右连续性：$F(x,y)$ 在右边连续。
• 有界性：当 $x$ 或 $y$ 趋向负无穷时值为 0，当 $x$ 和 $y$ 趋向正无穷时值为1。
• 非负性：对任意$x_1<x_2$，$y_1<y_2$有$P\{x_1<X⩽x_2,y_1<Y⩽y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)⩾0$。（由定义画图可知）

边缘分布函数

$\text{定义：}$ 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，随机变量 $X,Y$ 的分布函数 $F_X(x)$ 与 $F_Y(y)$ 分别称 $(X,Y)$ 关于 $X$ 与关于 $Y$ 的$\text{边缘分布函数}$。 $F_X(x)=P\{X⩽x\}=P\{X⩽x,Y<+\infty \}=\underset{y\to +\infty }{\lim }P\{X⩽x,Y⩽y\}=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y)=F(x,+\infty )$。同理 $F_Y(y)=F(+\infty ,y)$。

求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。

二维连续型随机变量

概率密度

$\text{定义：}$ 如果二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 可表示为 $F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\text{d}u\text{d}v$，（$(x,y)\in R^2$），其中 $f(x,y)$ 为非负可积函数，则称 $(X,Y)$ 为 $\text{二维连续型随机变量}$，$f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的 $\text{概率密度}$，记为 $(X,Y)\sim f(x,y)$。 二元函数 $f(x,y)$ 是概率密度的充要条件 $f(x,y)⩾0$，\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$$=1。

联合概率密度

$\text{定义：}$ 设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$，概率密度为 $f(x,y)$，则

• $F(x,y)$ 为 $(x,y)$ 的二元连续函数，且 $F(x,y)=P\{X⩽x,Y⩽y\}={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)\text{d}u\text{d}v$
• 设 $G$ 为平面上某个区域，则 $P\{(X,Y)\in G\}=\underset{G}{\iint }f(x,y)\text{d}x\text{d}y$
• 若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处连续，则 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
• 若 $F(x,y)$ 连续可导，则 $(X,Y)$ 是连续型随机变量，则 $\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$ 是其概率密度

边缘概率密度

$\text{定义：}$ 设 $(X,Y)\sim f(x,y)$，则 $X$ 的边缘分布函数为 $P\{X⩽x\}=F_X(x)=F(-\infty ,x)={\int }_{-\infty }^x\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)\text{d}v\right]\text{d}u$，所以 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\text{d}y$ ，称 $f_X(x)$ 为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的 $\text{边缘概率密度}$。 同理 $Y$ 也为连续型随机变量，其概率密度为 $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\text{d}x$。

Note

求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。 自己的一些理解 当 X 的边缘密度函数时，可以把理解为对于某一个 $x_0$，对应的所有 $f(x_0,y)$ 的值累加，连续型累加就是积分。分类讨论时就是分 x 的取值范围，当 x 在不同范围时，对应 x 的所有 f 值累加，积分。

联合概率密度决定边缘概率密度，所以相同联合概率密度的拥有同样边缘概率密度。

条件概率密度

$\text{定义：}$设 $(X,Y)\sim f(x,y)$，边缘概率密度 $f_X(x)>0$，则称 $f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$ 为 $Y$ 在 $X=x$ 条件下的$\text{条件概率密度}$。同理 $X$ 在 $Y=y$ 条件下的条件概率密度为 $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。

若 $f_X(x)>0$，$f_Y(y)>0$，则有概率密度乘法公式 $f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)$。

二维均匀分布

二维正态分布

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]\right\}$}

• $\text{若}\left(X_1,X_2\right)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho ),\text{则}{X}_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2).$
• \text{若}X_{1}\sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),X_{2}\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\text{且}X_{1},X_{2}\text{相互独立,则}$$(X_{1},X_{2})\sim N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};0)
• $(X_1,X_2)\sim N\Rightarrow k_1{X}_1+k_2{X}_2\sim N(k_1,k_2\text{是不全为 }0\text{的常数})$

独立性

(1) 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数为 $F(x,y)$, 边缘分布函数分别为 $F_x(x),F_Y(y)$,如果对任意的实数 $x,y$ 都有 $F(x,y)=F_X(x)\bullet F_Y(y)\left(\text{即事件}\left\{X⩽x\right\}\text{与}\left\{Y⩽y\right\}\text{相互独立 }\right)$ 则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立，否则称 $X$ 与 $Y$ 不相互独立.

(2)如果 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdot \cdot \cdot ,X_n)$ 的分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=F_1(x_1)\bullet F_2(x_2)\bullet \cdots \bullet F_n(x_n),$

其中 $F_i(x_i)(i=1,2,\cdots ,n)$ 为 $X_i$ 的边缘分布函数，$x_i$ 为任意实数，则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立.

不独立的判断

$X$ 与 $Y$ 不独立 $\iff$ 存在 $x_0,y_0$, 使 $A=\{X⩽x_0\}$ 与 $B=\{Y⩽y_0\}$ 不独立，即 $F(x_0,y_0)\ne F_X(x_0)\bullet F_Y(y_0).$ 也即取合适的 $x_0,y_0$, 使 $P\{X⩽x_0\}\bullet P\{Y⩽y_0\}\ne P\{X⩽x_0,Y⩽y_0\}$. 如：取 $x_0,y_0$, 使 $0<P\{X⩽x_0\}<1$, $0<P\{Y⩽y_0\}<1$, 但 $\{X⩽x_0\}\subset \{Y⩽y_0\}$ 或 $\{Y⩽y_0\}\subset \{X⩽x_0\}$ 或 $\{X⩽x_0,Y⩽y_0\}=\varnothing$ 等.

多维随机变量函数的分布

待完善 完善一下换元法的条件 一般是有反函数 概率论九讲有时间取看下具体解题步骤

换元法

增补变量法

常见分布的可加性

• $\text{若}X\sim B(n,p),Y\sim B(m,p),\text{则}X+Y\sim B(n+m,p)(\text{注意}p\text{相同})$
• $\text{若}X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2),\text{ 则}X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$
• $\text{若}X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),\text{则}X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2);$
• $\text{若}X\sim {\chi }^2(n),Y\sim {\chi }^2(m),\text{则}X+Y\sim {\chi }^2(n+m)$