4_随机变量的数字特征

一维随机变量的数字特征

随机变量的数学期望

设 $X$ 是随机变量，$Y$ 是 $X$ 的函数，$Y=g(X)$。

离散型

$$EX=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i$$ $$E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_i)p_i$$

连续型

$$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$ $$E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$$

性质

• $Ea=a,E(EX)=EX$
• $E(aX+bY)=aEX+bEY$
• 若 $X,Y$ 相互独立，则 $E(XY)=EXEY$

随机变量的方差、标准差

$$DX=E[(X-EX{)}^2]=E(X^2)-(EX{)}^2$$

性质

• $E(X^2)=DX+(EX{)}^2\ge (EX{)}^2$
• $Dc=0$
• $D(aX+b)=a^{2}DX$
• $D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2Cov(X,Y)$
• 若 $XY$ 相互独立，则 $D(aX\pm bY)=a^{2}DX+b^{2}DY$

常用分布的数学期望和方差

分布	$EX$	$DX$
$B(0,1)$	$p$	$p(1-p)$
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda )$	$\lambda$	$\lambda$
$G(p)$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
$N(\mu ,\sigma )$	$\mu$	${\sigma }^2$
$U(a,b)$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
$E(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$

二维随机变量的数字特征

数学期望

若 $XY$ 为随机变量，$g(X,Y)$ 为 $XY$ 的函数，如果 $(X,Y)$ 为离散型随机变量，其联合分布为 $p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_i\}$（$i,j=1,2,\cdots$），若级数 $\sum _i\sum _{j}g(x_i,y_j)p_{ij}$ 绝对收敛，则 $E[g(X,Y)]=\sum _i\sum _{j}g(x_i,y_j)p_{ij}$；如果 $(X,Y)$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x,y)$，若积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)\text{d}x\text{d}y$ 绝对收敛，则定义 $E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)\text{d}x\text{d}y$。

协方差与相关系数

$$Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EXEY$$ $${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$

性质

• 对称性：$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
• $Cov(X,c)=0$，$Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)$
• $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
• $Y=aX+b,a>0\Rightarrow \rho =1;a<0\Rightarrow \rho =-1$
• ${\rho }_{XY}=1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a>0).{\rho }_{XY}=-1\iff P\{Y=aX+b\}=1(a<0).$

独立性和相关性

独立性

随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，意指对任意实数 $x,y$, 事件 $\left\{X⩽x\right\}$ 与 $\left\{Y⩽y\right\}$ 相互独立，即 $\left(X,Y\right)$ 的分布等于边缘分布相乘：

$$F(x,y)=F_X(x)\bullet F_Y(y)$$

若 $(X,Y)$ 是离散型，则 $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}\bullet P\{Y=y_j\}$ 若 $(X,Y)$ 是连续型，则 $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $f(x,y)=f_X(x)\bullet f_Y(y).$ 不独立的判断 不独立一般用分布函数判断

相关性

随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关，意指 $X$ 与 $Y$ 之间不存在线性相依性，即 ${\rho }_{x}Y=0$ ,其充要条件是 ${\rho }_{XY}=0\iff \mathrm{Cov}(X,Y)=0\iff E(XY)=EX\bullet EY\iff D(X\pm Y)=DX+DY.$

• $如果(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y独立\iff X,Y不相关$

Cov $(X,Y)=E(XY)-EXEY\{\begin{array}{c}\ne 0\iff X\text{与}Y\text{相关}\Rightarrow X\text{与}Y\text{不独立},\\ \\ =0\iff X\text{与}Y\text{不相关},\text{通过分布推断}\{\begin{array}{ll}X,Y\text{独立},& \\ X,Y\text{不独},& \end{array},\end{array}$

切比雪夫不等式

如果随机变量 $X$ 的期望和方差 $DX$ 存在，则对任意 $\epsilon >0$，有 $P\{\left|X-EX\right|⩾\epsilon \}⩽\frac{DX}{{\epsilon }^2}\text{或}P\{\left|X-EX\right|<\epsilon \}⩾1-\frac{DX}{{\epsilon }^2}$

Note

做题时，可以把切比雪夫不等式看做恒成立，然后再判断题目所给的不等式