特征值与特征向量

定义

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\lambda$ 是一个数，若存在非零列向量 $\xi$ ，使得 $A\xi =\lambda \xi$ 则称： $\lambda$ 是 $A$ 的特征值， $\xi$ 是 $A$ 对应特征值的特征向量。

Info

看视频理解：线性代数的本质 - 3Blue1Brown

某空间在经过某个矩阵 $A$ 变换后，空间内的一个向量 $\xi$ 仅仅做了拉伸/压缩操作而未离开原位（拉伸压缩比是 $\lambda$）。

因此原等式可理解为：矩阵向量乘积和向量数乘是相等且等效的。

求法

$A\xi =\lambda \xi (\xi \ne 0)$ $\Rightarrow \lambda \xi -A\xi =0$ $\Rightarrow (\lambda E-A)\xi =0$ $\Rightarrow (\lambda E-A)X=0\text{齐次方程有非零解}$

Note

参考 有解的条件

$\Rightarrow |\lambda E-A|=0$

上方式子被称为 特征方程。

$\Rightarrow {\lambda }_{i}i=1,2,\cdots ,n$

因此：求解特征值特征向量一般先用 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $\lambda$ ，再接齐次线性方程组 $(\lambda E-A)x=0$ 求出特征向量。

Note

在算特征向量时，因为行列式等于 0，所以矩阵中必有一行可以被其他两行线性表示，所以可以找到不成比例的两行，令第三行为 0

性质与重要结论

特征值

1. ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值： $|{\lambda }_{0}E-A|=0$ ；不是特征值，则行列式不为零。

Tip

若 $|aA+bE|=0$ ，则 $-\frac{b}{a}$ 是 $A$ 的特征值。

2. 重要 若 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值们，则： $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$ $\mathrm{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n\text{（主对角线之和）}$

特征向量

重要

1. $\xi (\ne 0)$ 是 $A$ 的属于 ${\lambda }_0$ 的特征向量$\iff \xi$ 是 $({\lambda }_{0}E-A)x=0$ 的非零解；
2. $k$ 重特征值 $\lambda$ 至多只有 $k$ 个线性无关的特征向量；
3. 若特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 不等，则其对应的不同的特征向量一定线性无关；（相同特征值可能线性相关也可能无关）
4. 若特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 的特征值都等于 $\lambda$，则 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$ 也是特征值等于 $\lambda$ 的特征向量；（常考一个系数 $k=0$ 的情况）
5. 若 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 特征值不相同，则 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$ 不是任何特征向量；（常考 $k_1=k_2=0$ 的情况）
6. 一个特征向量不能有两个特征值。

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常用矩阵的特征值与特征向量

常用矩阵的特征值与特征向量