齐次线性方程组

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线性方程组与向量组其实是一回事

把方程组的系数写成矩阵形式，再将等号右边的值加入矩阵中就可以获得增广矩阵。

本质上说，方程组问题就是向量问题，方程组和向量组是同一问题的两种表现形式，本质一样，解决方法也一样。

求解方法

对增广矩阵作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，然后求解。

加入方程组有无穷多解，那么可使用某个向量“代表”所有的解，也被称为基础解系。

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齐次线性方程组

方程组：

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

1. 其向量形式为：

$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$$

其中

$${\mathbf{\alpha }}_j=\left[\begin{array}{c}{\alpha }_{1j}\\ {\alpha }_{2j}\\ \cdots \\ {\alpha }_{mj}\end{array}\right],j=1,2,\cdots ,n$$

2. 其矩阵形式为：

$${\mathbf{A}}_{m\times n}\mathbf{x}=0$$

其中

$${\mathbf{A}}_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \cdots \\ x_n\end{array}\right]$$

有解的条件

• 当 $r(A)=n$ （线性无关）时，方程组有唯一零解；
• 当 $r(A)=r<n$ （线性相关）时，方程组有非零解（无穷多解），且有 $n-r$ 个线性无关解。

Note

$S=n-r(A)$ $n$：自由度； $r(A)$：真实约数个数。

Example

若 $n=3$ ，则可理解为有3个未知向量 $x_1,x_2,x_3$，无约束地充满整个三维空间。

若此时 $r(A)=1$ ，那么说明有一个方程（例如 $x_1+x_2+x_3=0$）对三个解进行约束。只要确定了其中两个向量，那么剩下一个向量则可根据此约束确定下来。因此解空间被压缩到了原三维空间里的一个二维平面中。

因此有 $3-1=2$ 个线性无关解。

解的性质

若 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 都是齐次方程的解，则二者的线性组合 $(k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2)$ 也是齐次方程的解。

基础解系和解的结构

• 基础解系：设 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 满足 （$r(A)<n$）
  • 是方程组 $Ax=0$ 的解；
  • 线性无关；
  • 任意解可由 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 线性表示， 则称为方程组的基础解系。
• 通解： 设 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 是基础解系，则 $k_1{\xi }_1,\cdots ,k_{n-r}{\xi }_{n-r}$ 为通解。

求解方法和步骤

1. 系数矩阵 $A$ 作初等行变换化为行阶梯形矩阵，并记 $r(A)=r$；
2. 按列找出一个秩为 $r$ 的子矩阵（一个阶梯找一列），剩余列位置的未知数设为自由变量；
3. 按照基础解系定义求出 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{n-r}$ 并写出通解。

   Note

   基础解系反着走即可。简便算法可参考上课视频。

Example

1. 化为行阶梯矩阵：
2. 一个阶梯找一列（多种选法）：
3. 剩下的列为自由变量，并填入最简单的矩阵：
4. 与任意行进行内积为0，求得剩下的位置：

此为所求解。