实对称矩阵的相似对角化

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对称矩阵

实对称矩阵的性质

若 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵：

1. $A$ 的特征值是实数，特征向量是实向量；
2. $A$ 的属于不同特征值的特征向量相互正交；
3. 一定存在 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$ 其中 ${\lambda }_i$ 是 $A$ 的全部特征值。

相似对角化基本步骤

1. 求 $A$ 特征值；
2. 求特征值对应的特征向量；
3. 将特征向量正交化、单位化为 ${\eta }_n$；
4. 令 $Q=[{\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n]$ ，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

Note

对于实对称矩阵 可以直接在求特征向量时使其正交 不需要施密特正交化

Note

施密特正交化公式： 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关但不正交，令 ${\beta }_1={\alpha }_1,{\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\beta }_1,{\alpha }_2)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1,{\beta }_3=(不常考，略)$