矩阵的定义及基本运算

Gram matrix

$A^{T}A$ 向量内积 对称矩阵

矩阵的本质

$${\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]}_{2\times 3}$$

矩阵的初步认识：表达系统信息。

重要观点：

1. 矩阵也是由若干行/列向量组成的；
2. 矩阵无法被计算，但向量之间存在某种关系。

Tip

向量 $[1,2,3]$ 和 $[2,4,6]$ 是平行的。（存在线性关系）

定义

一个 $m\times n$ 的矩形表格：

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

当 $m=n$ 时，称为方阵；当两个矩阵行列分别相等，称为同型矩阵。

基本运算

相等

两个矩阵同型，且数据完全相等。

加法

当两个矩阵同型，可以相加。 $\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$

对应位置元素相加即可。

数乘矩阵

将数字乘给每一个元素。

$$k\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}k{a}_{11}& \cdots & k{a}_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ k{a}_{m1}& \cdots & k{a}_{mn}\end{array}\right]=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$$

Info

加法和乘法统称为矩阵的线性运算，且满足以下运算规律：

• 交换律
• 结合律
• 分配律
• 数和矩阵相乘结合律

乘法

两个矩阵， $A$ 是 $m\times s$ 矩阵， $B$ 是 $s\times m$ 矩阵（列数等于行数；行数等于列数）。

最后乘积也是矩阵，是 $m\times n$ 矩阵。

Info

矩阵乘法满足以下运算规律：

• 结合律
• 分配律
• 数乘和矩阵乘积的结合律 $(k\mathbf{A})\mathbf{B}=A(k\mathbf{B})=k(\mathbf{AB})$

交换律无法使用！ $\mathbf{AB}\ne \mathbf{BA}$

转置矩阵

将 $m\times n$ 矩阵行列交换后到的 $n\times m$ 矩阵称为转置矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\\ a_{13}& a_{23}\end{array}\right]$$

转置矩阵满足以下运算规律：

• $(A^T{)}^T=A$
• $(kA{)}^T=k{A}^T$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ 重要

方阵的行列式

$n$ 阶方阵 $A$ 计算行列式时记作 $|A|$ 。

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重要矩阵

零矩阵

全是零的矩阵，记为 $0$

单位矩阵

主对角线是1，其余元素全是0的 $n$ 阶方阵。记为 $E_n(I)$

数量矩阵

$k$ 倍的单位矩阵。

满足交换律：

$kE\cdot A=A\cdot kE$

对角矩阵

重要

非对角元素均为0的矩阵。

上下三角矩阵

主对角线下/上全为0的矩阵。

对称矩阵

满足 $A^T=A$ 的矩阵。

Tip

$A^{T}A$ 必为对称阵。 $A^{T}A\Rightarrow (A^{T}A{)}^T=A^T(A^T{)}^T=A^{T}A$

实对称矩阵：元素全为实数的对称矩阵。

反对称矩阵

满足 $A^T=-A$ 的矩阵。

Tip

主对角线一定全为 $0$ 。

行矩阵、列矩阵

只有一行元素的矩阵。也叫行向量；

只有一列元素的矩阵，也叫列向量。

分块矩阵

重要

矩阵的分块

用几条横线竖线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块，把子块看作原矩阵的元素。

基本运算

与一般矩阵计算无异。将数的运算改为矩阵运算即可。

注意不要滥用交换律。