矩阵的秩

定义

若矩阵 $A$ 存在 $k$ 阶子式不为零， $k+1$ 阶子式全为零，则： $r(A)=k$

Info

• $k$ 阶子式：任取 $k$ 行 $k$ 列构成的 $k$ 阶行列式。
• $r(A)=k$ 也可以理解为： $A$ 的线性无关的向量的个数。

若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则： $r(A_{n\times n})=n\iff |A|\ne 0\iff A\text{可逆}$

算法

将 $A$ 用初等行变换，化为 行阶梯形矩阵 ，其非零行数就是 $A$ 的秩。

Example

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $r(A)=2$

重要式子

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是任何满足运算的矩阵：

• $0\le r(A)\le \min \{m,n\}$
• $r(kA)=r(A)(k\ne 0)$
• $r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$ 重要
• $r(A+B)\le r(A)+r(B)$ 重要
• $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n& r(A)=n\\ 1& r(A)=n-1\\ 0& r(A)<n-1\end{array},\text{A为n阶方阵}$ 重要
• $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$
• 若 $A_{m\times n}{B}_{n\times s}=0$ ，则 $r(A)+r(B)\le n$ （$A$ 的列数） 重要
• $r(A)=r(A^T)=r(A^{T}A)=r(A{A}^T)$ 重要

$${\left[\begin{array}{cc}\mathbf{D}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& {\mathbf{C}}^{-1}\\ {\mathbf{B}}^{-1}& -{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{D}{\mathbf{C}}^{-1}\end{array}\right]$$