初等变换和初等矩阵

矩阵等价

两个矩阵等价相当于两个矩阵有相同的等价标准型

初等变换

• 一个非零常数乘矩阵的某一行/列；
• 互换矩阵中的某两行/列；
• 将矩阵中的某一行/列的 $k$ 倍加到另一行/列。

以上三种变换称为矩阵的初等行/列变换，分别称为：

• 倍乘变换；
• 互换变换；
• 倍加初等行/列变换。

初等矩阵定义

重要

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

1. 倍乘初等矩阵：第 $i$ 行/列乘 $k$ 倍的单位矩阵： $E_i(k)$

Example

$E_2(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

2. 互换初等矩阵：第 $i$ 行与 $j$ 行互换的单位矩阵： $E_{ij}$

Example

$E_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

3. 倍加初等矩阵：将 $j$ 行的 $k$ 倍加之 $i$ 行的单位矩阵： $E_{ij}(k)$

Example

$E_{13}(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right]$

Note

这里请自行带入几个数并使用初等矩阵变换一下，就会发现他们的作用 正如名字所说 。

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初等矩阵的性质与重要公式

• 初等矩阵的转置仍初等矩阵；
• 初等矩阵都是可逆矩阵： $[E_i(k){]}^{-1}=E_i(\frac{1}{k})$ $E_{ij}^{-1}=E_{ij}$ $[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$
• 可逆矩阵一定可以表示为有限个初等函数的乘积；
• 初等矩阵放在左边则对行进行变换；放在右边则对列进行变换。

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行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵

1. 若有零行，则零行全部位于非零行的下方
2. 各非零行左起第一个非零元素的列指标由上到下严格增大

Note

非零行的 $0$ 个数必须严格增加，不允许相等。（如两行同时拥有3个 $0$ ）

行最简阶梯形矩阵

第一个非零元素均为 $1$ 的行阶梯形矩阵。且其元素正上方所有元素均为 $0$ 。如图：

Tip

• 其实就是做了消元，将方程组化到了最简形式。
• 对于任何非零矩阵，都可以化为行阶梯和行最简阶梯。

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用初等变换求逆矩阵的方法

$[\mathbf{A}|\mathbf{E}]\text{初等行变换}\Rightarrow [\mathbf{E}|{\mathbf{A}}^{-1}]$ $\left[\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{E}\end{array}\right]\text{初等行变换}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\mathbf{E}\\ {\mathbf{A}}^{-1}\end{array}\right]$

在矩阵右拼/下拼一个单位矩阵，再通过初等行变换将矩阵 $A$ 转换为单位矩阵，单位矩阵所变成的矩阵即为所求 $A^{-1}$ 。

证明略。

Tip

练习题见 例2.13 。

Caution

实际计算中时，请使用虚线分隔 $A$ 与 $E$ ，该笔记中无法输入虚线分隔符。

简单分块矩阵的逆

若 $A,B$ 均是可逆方阵，则：

${\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathbf{B}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}^{-1}& 0\\ 0& {\mathbf{B}}^{-1}\end{array}\right]$

${\left[\begin{array}{cc}0& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& {\mathbf{B}}^{-1}\\ {\mathbf{A}}^{-1}& 0\end{array}\right]$

超过两阶可自行推广。副对角反着写即可。

三角阵

$A=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{B}& 0\\ \mathbf{D}& \mathbf{C}\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{B}& 0\\ \mathbf{D}& \mathbf{C}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{X}& \mathbf{Y}\\ \mathbf{Z}& \mathbf{W}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{E}& 0\\ 0& \mathbf{E}\end{array}\right]$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}\mathbf{X}& \mathbf{Y}\\ \mathbf{Z}& \mathbf{W}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{B}}^{-1}& 0\\ -{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{D}{\mathbf{B}}^{-1}& {\mathbf{C}}^{-1}\end{array}\right]$

Tip

• 对角直接取逆；
• 对于 $D$ 同样左行右列： ${\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{D}{\mathbf{B}}^{-1}$，再添负号。
• 其他三角位置可用同样方式。副对角时记得反写。