伴随矩阵

定义

将行列式的 $n^2$ 个元素的代数余子式 余子式 按如下形式排列的矩阵称为 $A$ 的伴随矩阵，记作 $A^{\ast }$：

$$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$$

且有： 必考 $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

Example

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]$ $|A|=-2,A{A}^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}-2& -2\\ -2& -2\end{array}\right]$

Note

• $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ ；
• 注意位置：第 $i$ 行元素的代数余子式写在第 $i$ 列上；
• 可推出：$A^{\ast }=|A|A^{-1}$ （左右各乘 $A^{-1}$ 可证）。

$A$ 可逆时，$A^{\ast }$ 与 $A^{-1}$ 只差了一个非零倍数而已！

当

性质与重要公式

对于任意 $n$ 阶方阵 $A$ ，都有伴随矩阵 $A^{\ast }$ ，且有公式

$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E,|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

当 $|A|\ne 0$ （可逆）时，有 $A^{\ast }=|A|A^{-1},A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },A=|A|(A^{\ast }{)}^{-1}$ $(kA)(kA{)}^{\ast }=|kA|E$ $A^T(A^T{)}^{\ast }=\left|A^T\right|E$ $A^{-1}(A^{-1}{)}^{\ast }=\left|A^{-1}\right|E$ A^{*}(A^{*})^{*} = $\left| A^{*}\right|E

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$(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$ $(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}$ $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$ $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

Tip

对于二阶矩阵：

• 求伴随矩阵：主对调，副变号。 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$
• $(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$

伴随矩阵求逆矩阵

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

求伴随矩阵的方法

定义法

先求 $A_{ij}$ ，再拼接成 ${\mathbf{A}}^{\ast }$。

公式法

若可逆，则 ${\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|{\mathbf{A}}^{-1}$。

Note

${\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{a}^{-1}& 0\\ 0& b^{-1}\end{array}\right]$ ${\left[\begin{array}{cc}0& a\\ b& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0& b^{-1}\\ a^{-1}& 0\end{array}\right]$