行列式的定义与性质

行列式的本质定义（第一种定义）

$D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$ 称为二阶行列式。角标代表该元素的行列位置。

计算： $D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

Question

为什么是行列式计算是主线减副线？

解释

把行列式第一行和第二行看作两个向量： $\begin{array}{c}[a_{11},a_{12}]={\mathbf{a}}_1\\ [a_{21},a_{22}]={\mathbf{a}}_2\end{array}$

在直角坐标系下画出两个向量，并作平行四边形。各参数如图：

求平行四边形面积 $S_{OABC}$ : \begin{align*} S_{OABC} &= l\cdot m\cdot \sin (\beta - \alpha) \\ &= l\cdot m (\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)\\ &= l\cos \alpha \cdot m\sin\beta - l\sin \alpha \cdot m\cos\beta \\ &= a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \end{align*}

二阶行列式是由两个向量组成的，代表着以这两个向量为邻边的平行四边形的面积

线性推广

三阶行列式则可理解为：三个3维向量围成的立方体的体积。

$n$ 阶行列式可理解为： $n$ 个 $n$ 维向量为邻边组成的 $n$ 维图形的体积。

Note

若行列式 $D\ne 0$ ，则体积不为0，则组成该行列式的三个向量线性无关。否则称为线性相关。

一定要习惯用向量来想行列式！

简化版计算

二阶

$D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$

三阶

$D_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-(a_{13}{a}_{22}{a}_{31}+a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{11}{a}_{23}{a}_{32})$

行列式的性质

1. 行列互换，其值不变； $|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}^T|$
2. 若某行/列全为 $0$ ，则整个行列式为 $0$；（一个向量是零，扁了）
3. 若某行/列有公因子 $k$ ，则可以把 $k$ 提到外面；（一个向量乘倍数）
4. 若某行/列均是两数之和，则可以拆成两个行列式值和；（一个向量拆成两个）
5. 行列式两行/列互换，行列式变号；（反着算体积）
6. 两行/列成比例，整个行列式为 $0$；（重合向量，没面积）
7. 把某行/列的 $k$ 倍加到另一行/列，行列式不变。（倍加性质）

行列式的逆序数法定义（第二种定义）

排序和逆序

• 排列：有序数组，只包含小于 $n$ 的数，不重复。 $12345$ 是一个 $5$ 级排列， $23154$ 也是一个 $5$ 级排列。
• 逆序：若 $n$ 级中的两个数，排列前面的数大于后面的数，则构成逆序。 $23145$ 的逆序有： $21,31$。
• 逆序数：一个排列中逆序的个数称为逆序数 $\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)$ $\tau (231546)=3$。
• 奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；否则为偶排列。

n阶行列式

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

1. 一个 $n$ 阶行列式打开后有 $n!$ 项；
2. $\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}$ 表示对所有 $n$ 个列下标排列求和；
3. 每项取自不同行不同列的 $n$ 个元素组成。
4. 规定：一阶行列式 $|a_{11}|=a_{11}$。

行列式的展开定理（第三种定义）

超过三阶用此方法降阶。

余子式

Note

子式 = 行列式 子矩阵 = 矩阵

$n$ 阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列元素，剩下的拼成 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。（十字消消乐）

代数余子式

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

行列之和为奇数则添负号。

某一行/列的展开公式

行列式等于某行/列元素分别乘其相应的代数余子式后再求和。

$|\mathbf{A}|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$

列省略。

Tip

尽量找 $0$ 元素多的一行展开， $0$ 越多越好！