场论初步

(1)如果 $\Omega$ 上的每一点 $M(x,y,z)$ 都对应着一个数量 $u$, 则在 $\Omega$ 上就确定了一个数量函数 $u=u(x,y,z)$, 它表示一个数量场. 数量场的例子很多，比如温度场，温度场只讲大小，不讲方向. (2)如果 $\Omega$ 上的每一点 $M(x,y,z)$ 都对应着一个向量 $F$, 则在 $\Omega$ 上就确定了一个向量函数 $F(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k},$ 它表示一个向量场. 向量场的例子也很多，比如引力场，引力场既讲大小，也讲方向

方向导数

定义 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某空间邻域 $U\subset {\mathbf{R}}^3$ 内有定义，$\iota$ 为从点 $P_0$ 出 发的射线，$P(x,y,z)$ 为 $l$ 上且在 $U$ 内的任一点，则

$\{\begin{array}{l}x-x_0=\Delta x=t\cos \alpha ,\\ y-y_0=\Delta y=t\cos \beta ,\\ z-z_0=\Delta z=t\cos \gamma .\end{array}$

以 $t=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}$ 表示 $P$ 与 $P_0$ 之间的距离，如图 17-4 所示，若极限

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(P)-u(P_0)}{t}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta ,z_0+t\cos \gamma )-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$ 存在，则称此极限为函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\iota$ 的方向导数，记作 ${\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}|}_{P_0}.$

方向导数的计算公式

定理 (方向导数的计算公式) 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点导数都存在，且 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处可微分，则 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处沿任一方向 $\iota$ 的方向 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}={\lim }_{t\to 0^{+}}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y,z_0+\Delta z)-u(x_0,y_0,z_0)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}}$

$$\begin{array}{c}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{u_x^{\prime }(P_0)\Delta x+u_y^{\prime }(P_0)\Delta y+u_z^{\prime }(P_0)\Delta z+o(t)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}}\\ =u_x^{\prime }\left(P_0\right)\cos \alpha +u_y^{\prime }\left(P_0\right)\cos \beta +u_z^{\prime }\left(P_0\right)\cos \gamma ,\end{array}$$

梯度

定义 设三元函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处具有一阶连续偏导数，则定义 $\mathbf{grad}u{|}_{P_0}=(u_x^{\prime }(P_0),u_y^{\prime }(P_0),u_z^{\prime }(P_0))$ 为函数 $u=u(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处的梯度.

方向导数与梯度的关系

函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，为 $\left|\begin{array}{c}\mathbf{grad}u\end{array}\right|=\sqrt{(u_x^{\prime }{)}^2+(u_y^{\prime }{)}^2+(u_z^{\prime }{)}^2}.$

散度

定义 设向量场 $A(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$,则 $\mathrm{div}A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 叫做向量场 $A$ 的散度

旋度

定义 设向量场 $A(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$,则

$$rotA=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$$

叫做向量场 $A$ 的旋度