向量代数

向量及其表达形式

• 既有大小又有方向的量称为向量

向量的运算及其应用

数量积（内积、点积）

$$a\cdot b=(a_x,a_y,a_z)\cdot (b_x,b_y,b_z)=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z.$$

$a\cdot b=|a||b|\cos \theta ,\text{则}\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$ $a\perp b\iff \theta =\frac{\pi }{2}\iff a\cdot b=|a||b|\cos \theta =0\iff a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=0$ ${\mathrm{Prj}}_{b}a=\frac{a\cdot b}{|b|}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$

向量积（外积、叉积）

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|,\text{其中}\left|\begin{array}{c}\mathbf{a}\times \mathbf{b}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\mathbf{a}\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}\mathbf{b}\end{array}\right|\sin \theta$ 用右手规则确定方向（转向角不超过 $\pi$），$\theta$ 为 $a,b$ 的夹角 $c=a\times b$ $c$ 与 $a,b$ 所在的平面垂直 即 c 的长度在数值上等于以 a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。 $a\parallel b\iff \theta =0\text{ 或 }\pi \iff \frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}.$

混合积

$\left[\begin{array}{c}abc\end{array}\right]=(a\times b)\cdot c=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.$ 混合积的结果是以 $a,b,c$ 为三条棱的平行六面体的体积 $\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|=0\iff \text{三向量共面 }.$

向量的方向角和方向余弦

• $非零向量a与x轴、y轴和z轴正向的夹角\alpha ,\beta ,\gamma 称为a的方向角.$
• $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \text{称为}a\text{的方向余弦,且}\cos \alpha =\frac{a_x}{|a|},\cos \beta =\frac{a_y}{|a|},\cos \gamma =\frac{a_z}{|a|}$
• $a^{\circ }=\frac{a}{|a|}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )\text{称为向量}a\text{ 的单位向量(表示方向的向量 }).$
• 任意向量 $r=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}=(r\cos \alpha ,r\cos \beta ,r\cos \gamma )=r(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$, 其中 $\cos \alpha ,\cos \beta$, $\cos \gamma$ 为 $r$ 的方向余弦，$r$ 为 $r$ 的模 $,\cos \alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\cos \beta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\cos \gamma =\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ , $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$