二重积分的计算

直角坐标系下的计算方法

Tldr

后积先定限， 限内画直线， 先交写下限， 后交写上限。

直角坐标系一般分为两种：

1. $x$ 形区域 $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_a^b\mathrm{d}x{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$
2. $y$ 形区域： $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_c^d\mathrm{d}y{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$

Note

关键是确定积分限，可以画图/写出确定的表达式。 这里的下限必须小于上限。不是的话需要提负号出去。

极坐标系下的计算方法

Tip

• 与直角坐标系转换：$\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$
• 极坐标系选择的原则：
  • 积分区域是圆或圆的一部分；
  • 被积函数是否含有： $x^2+y^2=r^2,\frac{y}{x}=\tan \theta ,\frac{x}{y}=\cot \theta$
• 二者满足其一（主要是第二点）即可考虑极坐标系，否则用直角坐标系。

**分割：**不同半径的圆和半径切割，形成近似矩形。面积： $\mathrm{d}\sigma =r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$

Caution

多了个 $r$，不要写漏！

**计算：**两条射线将积分区域划分成了内曲线与外曲线 $r_1(\theta ),r_2(\theta )$：

$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }\mathrm{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2\theta }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}x$

极坐标和直角坐标系的互相转化

1. 用好基本换算公式： $\{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$
2. 画出区域 $D$ 的边界图形，做好上下限的转化。

换元法

Tip

• 与 定积分的换元积分法 一脉相承；
• 可直接使用，无需证明；
• 换元的最终目的：把积分变简单！
• 极坐标变换只是一种特殊的换元法。（多乘的 $r$ 其实就是雅可比行列式）

$\underset{D_{xy}}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D_{uv}}{\iint }f[x(u,v),y(u,v)]\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

三换：

1. 换被积函数： $f(x,y)\to f[x(u,v),y(u,v)]$
2. 换积分区域： $\underset{D_{xy}}{\iint }\to \underset{D_{uv}}{\iint }$
3. 换积分元素： $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\to \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$

Note

• $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 是 $(x,y)$ 面到 $(u,v)$ 面的一对一映射，且存在一阶连续偏导数；
• 雅可比行列式：$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\ne 0$