二重积分的概念

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联系 定积分 的定义

1. 分割：设 $f(x,y)$ 有界闭区域的有界函数，并将闭区域 $D$ 分割为 $n$ 个小闭区域：$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n$
2. 近似：在每个 $\Delta {\sigma }_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，求出曲面下围成的柱体体积： $f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$
3. 求和：把所有小柱体加在一起： ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$
4. 取极限：如果各小闭区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，和的极限总存在（与 $\Delta {\sigma }_i$ 的分法和点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$ 的取法无关），则称这个极限值为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作： $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$

其中：

• $f(x,y)$ 是被积函数；
• $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 是被积表达式；
• $\mathrm{d}\sigma$ 是面积元素；
• $x,y$ 是积分变量；
• $D$ 是积分区域；
• $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$ 是积分和。

Note

• 二重积分其实就是计算曲顶柱体的体积；
• 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则二重积分一定存在；
• 如果 $f(x,y)<0$ ，虽然柱体体积为正，但二重积分的值是负的；
• 二重积分不止可以计算体积，还可以计算密度不均匀的几何体的质量等。
• 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则二重积分一定存在；
• 同理可以很容易推导出三重积分： $\underset{\Omega }{\iiint }{\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\iota }_i)\Delta v_i$