积分不等式

用函数单调性

Tip

与微分学类似，但换成更复杂的积分形式。

此方法多用于所给条件为“ $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续”的情况。

Note

此处可看 例 11.7： $f (x)$ 单增， $0 \leq g (x) \leq 1$ ，证明： $\int_{a}^{a + \int_{a}^{b} g (t) d t} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$

适用于 $f (x)$ 一阶可导且某一端点值比较简单的题目。

适用于 $f (x)$ 二阶可导且题中有简单的函数值的题目。

分部积分、换元、恒等变形。

Example

例如 11.11 设 $f^{'} (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a) = f (b) = 0$ 证明 $∣ f (x) ∣ \leq \frac{1}{2} \int_{a}^{b} ∣ f^{'} (x) ∣ d x$