空间平面与直线

平面方程

假设平面的法向量 $n = (A, B, C)$

一般式： $A x + B y + C z + D = 0.$
点法式： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0.$
三点式： $x - x_{1} x - x_{2} x - x_{3} y - y_{1} y - y_{2} y - y_{3} z - z_{1} z - z_{2} z - z_{3} = 0 (平面过不共线的三点 P_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i}), i = 1, 2, 3) .$
截距式： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 (平面过 (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) 三点) .$
平面束方程：

设 π_{i} : A_{i} x + B_{i} y + C_{i} z + D_{i} = 0, i = 1, 2. A_{1}, B_{1}, C_{1} 与 A_{2}, B_{2}, C_{2} 不成比例

则过 L : {A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0, A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0 的平面束方程为：

A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} + λ (A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2}) = 0 (不含 π_{2})

$或 A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} + λ (A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1}) = 0 (不含 π_{1}) .$

以下假设直线的方向向量} $τ = (l, m, n) .$

一般式： ${A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0, n_{1} = (A_{1}, B_{1}, C_{1}), A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0, n_{2} = (A_{2}, B_{2}, C_{2}), 其中 n_{1} 不平行于 n_{2} .$
点向式： $\frac{x - x _{0}}{l} = \frac{y - y _{0}}{m} = \frac{z - z _{0}}{n} .$
参数式 $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + lt, y = y_{0} + m t, P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) 为直线上的已知点, t 为参数 . z = z_{0} + n t,$
两点式 $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}} (直线过不同的两点 P_{i} (x_{i}, y_{i}, z_{i}), i = 1, 2) .$

点到直线的距离（平面情况）： $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$
点到平面的距离： $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$
直线与直线
平面与平面
平面与直线