多元函数微分学的几何应用

空间曲线的切线与法平面

(1)用参数方程给出曲线：$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),t\in I\\ z=z(t),\end{array}$

其中 $x(t),y(t),z(t)$ 在 $I$ 上可导，且三个导数不同时为 0，则曲线在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量

$\tau =(x^{\prime }(t_0)$, $y^{\prime }(t_0)$, $z^{\prime }(t_0))$ ;

切线方程：$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$ .

法平面方程：$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$ .

(2) 用方程组给出曲线 $:\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}$

当 $\partial (F,G)\partial (y,z)=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial y}& \frac{\partial F}{\partial z}\\ \frac{\partial G}{\partial y}& \frac{\partial G}{\partial z}\\ \frac{\partial G}{\partial y}& \frac{\partial G}{\partial z}\end{array}\right|\ne 0$ 时，可确定 $\{\begin{array}{l}x=x,\\ y=y(x),\\ z=z(x).\end{array}$

其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量 $\tau ={\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ F_x^{\prime }& F_y^{\prime }& F_z^{\prime }\\ G_x^{\prime }& G_y^{\prime }& G_z^{\prime }\end{array}\right|}_{P_0}=(A,B,C).$

切线方程：$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}.$

法平面方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$

空间曲面的切平面与法线

1. 用隐式方程给出曲面：$F(x,y,z)=0$，其中 $F$ 的一阶偏导数连续 $\begin{array}{rl}& \text{其在}{P}_0(x_0,y_0,z_0)\text{处的法向量}\mathbf{n}=(F_x^{\prime }{|}_{P_0},F_y^{\prime }{|}_{P_0},F_z^{\prime }{|}_{P_0}).\\ & \text{切平面方程:}{F}_x^{\prime }{|}_{P_0}\cdot (x-x_0)+F_y^{\prime }{|}_{P_0}\cdot (y-y_0)+F_z^{\prime }{|}_{P_0}\cdot (z-z_0)=0.\\ & \text{法线方程:}\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }{|}_{P_0}}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }{|}_{P_0}}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }{|}_{P_0}}.\end{array}$
2. 用显示方程给出曲面 $z=f(x,y)\Rightarrow f(x,y)-z=0$，其中 $f$ 的一阶偏导数连续 $\text{其在}{P}_0(x_0,y_0,z_0)\text{处的法向量}n=(f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0),\underline{-1})$ 此法向量方向向下. 切平面方程：$f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0$ . 法线方程：$\frac{x-x_0}{f_x^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y^{\prime }(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$ .