二重积分的性质

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联系 性质

1. 求区域面积

$\underset{D}{\iint }1\cdot \mathrm{d}\sigma =\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma =A$ 其中 $A$ 为 $D$ 的面积。

2. 可积函数必有界

当 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，$f(x,y)$ 在区域上必有界。

3. 积分的线性性质

• 两个函数先加减后积分和先积分后加减是等价的；
• 乘法可以拿出去。

$\underset{D}{\iint }[k_{1}f(x,y)\pm k_{2}g(x,y)]\mathrm{d}\sigma =k_1\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \pm k_2\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

4. 积分的可加性

设 $f(x)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，且 $D_1\cup D_2=D,D_1\cap D_2=\varnothing$ ，则： $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$

Note

一般是把区域 $D$ 拆分成多个区域。

5. 积分的保号性

两函数比较

若区域上有： $f(x,y)\le g(x,y)$ $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

绝对值不等式

特殊地，有： $\left|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \right|\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$

6. 二重积分的估值定理

设 $M,m$ 分别是 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上的最大值和最小值， $A$ 为区域 $D$ 的面积，则：

$mA\le \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le MA$

7. 二重积分的中值定理

函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域上连续， $A$ 为区域面积， $D$ 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$ 使得

$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )A$