旋转体的体积

绕 $x$ 轴旋转

$y=y(x)$ 与 $x=a,x=b$ 以及 $x$ 轴围成的面积，绕着 $x$ 轴旋转一周形成的体积。

依然使用微元法，只是从计算细长条矩形面积，变成了小硬币体积（圆柱体）。

因为圆柱体体积公式是底面积乘高，可知

• 底面积为 $\pi r^2=\pi y^2(x)$
• 高为 $\mathrm{d}x$ 。

积分可得：

$V={\int }_a^b\pi y^2(x)\mathrm{d}x$

绕 $y$ 轴旋转

曲线与两竖线 $a,b$ 以及 $x$ 轴围成曲边梯形，再绕 $y$ 轴旋转得到旋转体。

$V=2\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|\mathrm{d}x$

先计算长条面积 $S_x=|y(x)|\mathrm{d}x$ ，可计算得到一圈的体积 $V_x=2\pi x\cdot S_x$ ，再进行积分。

Note

如果需要简化计算，完全可以交换 $x$ ， $y$ 的地位，变成竖过来的旋转体。变为 $x=f(y)$ 即可。

绕直线旋转

Tip

套公式即可。都给你算好了，背公式就完事了！

设曲线：$y=f(x),a\le x\le b$

设直线：$Ax+By+C=0$

该直线的任意垂线都与曲线 至多 有一个交点。

则曲线绕直线旋转一周的体积为：$V=\frac{\pi }{(A^2+B^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_a^b[Ax+Bf(x)+C{]}^2|A{f}^{\prime }(x)-B|\mathrm{d}x$

当 $A=C=0,B\ne 0$ ，则回到绕 $x$ 轴旋转的特殊情况。