复合函数和微分形式不变

链式求导法则

若函数均可导：

$$\{f[g(x)]\}’=f’[g(x)]g’(x)$$ $$\mathrm{d}\{f[g(x)]\}=f’[g(x)]g’(x)\mathrm{d}x=f’[g(x)]\mathrm{d}[g(x)]$$

也称作：微分形式不变性：无论 $u$ 是中间变量还是自变量， $\mathrm{d}y=f’(u)\mathrm{d}u$ 都成立 。（里面是狗也成立！）

先对整体进行求导，再对括号里面的函数求导。 $f\to g\to x$

更多层也是一样操作。 （剥洋葱）

形式上

可以使用 约分 来理解链式求导法则：

$$\begin{array}{rl}[f(u[v(x)])]’& =f_u’\cdot u_v’\cdot v_x’\\ & =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\\ & =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\end{array}$$