隐函数求导

设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的可导函数：

1. 方程 $F(x,y)=0$ 两边对 $x$ 求导，将 $y$ 看作中间变量，得到关于 $y’$ 的方程；
2. 求解方程，求出 $y’$ 。

Caution

注意 $y=y(x)$ ，可能会涉及 复合函数求导！

---

例题

请一定保证准确、清晰、快速的计算思维。

例 4.8：函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^3+x{y}^2+x^{2}y+6=0$ 确定，且 $y’(1)=0$ ，求 $y’’(1)$.

1. 求解 $y(1)$

对原式两边关于 $x$ 求导 （注意复合函数）：

$$\begin{array}{rl}& (3y\cdot y’)+(y^2+x\cdot 2y\cdot y’)+(2xy+x^2\cdot y’=0)(\ast )\\ \Rightarrow & [y(1){]}^2+2\cdot 1\cdot y(1)=0\\ \Rightarrow & y(1)=0或-2(0不符合，舍去)\end{array}$$

2. 求解 $y’’(1)$

再对 $(\ast )$ 式关于 $x$ 进行求导 （有点复杂，但不难。请一定仔细！） ：

$$\begin{array}{rl}& [6y\cdot (y’{)}^2+3y^2\cdot y’’]+[2y\cdot y’]+[2(yy’+x(y’{)}^2+xy\cdot y’’]+[2y+2xy’]+[2x\cdot y’+x^2\cdot y’’]=0(\ast \ast )\\ \Rightarrow & 12y’’(1)-4y’’(1)-4+y’’(1)=0\\ \Rightarrow & y’’(1)=\frac{4}{9}\end{array}$$

提示： $y^2$ 关于 $x$ 求导时，可看作复合函数求导： $(y^2)’=2y\cdot y’$