2_一维随机变量及其分布

一维随机变量

随机变量的概念

随机变量就是其值会随机而定的变量。设随机试验 $E$ 的样本空间 $\Omega =\omega$，如果对每一个 $\omega$ 都有唯一的实数 $X(\omega )$ 与之对应，并且对任意实数 $x$，$\{\omega |X(\omega )⩽x,\omega \in \Omega \}$ 是随机事件，则称定义在 $\Omega$ 上的实值单值函数 $X(\omega )$ 为 $\text{随机变量}$，记为随机变量 $X$。

分布函数的概念及性质

概念

设 $X$ 为随机变量，$x$ 为任意实数，称函数 $F(x)=P\{X⩽x\}$（$x\in R$ 且取遍所有实数）为随机变量 $X$ 的分布函数，或称 $X$ 服从分布 $F(x)$，记为 $X\sim F(x)$。（随着 $x$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$，$X(\omega )$ 到 $\varnothing$ 到 $\Omega$）

性质 (充要条件)

• $F(x)$ 是 $x$ 的单调不减函数，即对任意实数 $x_1<x_2$，有 $F(x_1)⩽F(x_2)$。
• $F(x)$ 是 $x$ 的右连续函数，即对任意 $x_0\in R$，有 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }F(x)=F(x_0+0)=F(x_0)$。（左空心右实心）
• $F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$，$F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$。

应用

• $P\{X⩽a\}=F(a)$
• $P\{X<a\}=F(a-0)$
• $P(X=a)=F(a)-F(a-0)$

一维离散型随机变量

若随机变量 $X$ 只可能取有限个或可列各值 $x_1,x_2,\cdots$，则称 $X$ 为离散型随机变量。

分布律

$P\{X=x_i\}=p_i$，$i=1,2,\cdots$ 为 $X$ 的 $\text{分布列}$、$\text{分布律}$ 或 $\text{概率分布}$，记为 $X\sim p_i$。

性质

数列$\{p_i\}$是离散型随机变量的概率分布的充要条件是$p_i⩾0$（$i=1,2,\cdots$）且$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$。

五大分布

0-1 分布 $B(1,p)$

$P\{X=1\}=p$，$P\{X=0\}=1-p$，则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的0-1分布，记为 $X\sim B(1,p)$（$0<p<1$）

Note

$X$：伯努利计数变量——发生计 1，不发生计 0

二项分布 $B(n,p)$

如果 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$（$k=0,1,\cdots ,n$，$0<p<1$），则称 $X$ 服从参数为 $(n,p)$ 的 $\text{二项分布}$，记为 $X\sim B(n,p)$。

Note

$n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，其中 $p=P(A)$ $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$，$X_i\sim B(1,p)$，随机变量的分解

泊松分布 $P(\lambda )$

如果 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$（$k=0,1,\cdots ,n$，$\lambda >0$），则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的 $\text{泊松分布}$，记为 $X\sim P(\lambda )$。

Note

单位时间源源不断的质点来流的个数，也可以用于描述稀有事件发生才次数 $\lambda$ 强度

泊松定理

设 $X\sim B(n,p)$，当 $n$ 较大，$p$ 较小时，近似 $X\sim P(np)$。 即$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}\approx \frac{(np{)}^k{e}^{-np}}{k!}$。

几何分布 $G(p)$

如果 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}p$（$k=0,1,\cdots ,n$，$0<p<1$），则称 $X$ 服从参数为 $p$ 的$\text{几何分布}$，记为 $X\sim G(p)$。

Note

几何分布与几何无关，代表的是 $n$ 重伯努利试验首次成功就停止试验，试验次数可以为无穷。设 $X$ 表示伯努利试验中事件 $A$ 首次放生所需要的试验次数，则 $X\sim G(p)$，其中 $p=P(A)$。 从而根据意义，几何分布要求前 $k-1$ 次都失败，从而概率为 $(1-p{)}^{k-1}$，最后一次成功，所以再乘上 $p$。

超几何分布 $H(n,N,M)$

如果 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$（$\max \{0,n-N+M\}⩽k⩽\min \{M,n\}$，$M,N,n$ 为正整数且 $M⩽N$，$n⩽N$，$k$ 为整数），则称 $X$ 服从参数为 $(n,N,M)$ 的 $\text{超几何分布}$，记为 $X\sim H(n,N,M)$。

Note

超几何分布考的可能性很小，事件数就是古典概型的一个特例。 如有 $N$ 件产品，其中 $M$ 件正品，从而 $N-M$ 件次品，任取 $n$ 个，则取出 $k$ 件正品的概率就是超几何分布。 当 $n\ll N$ 时，不放回抽样可以近似看做放回抽样，超几何分布可以用二项分布近似

一维连续型随机变量

若随机变量$X$的分布函数可以表示为$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\text{d}t$（$x\in R$且取遍所有实数），其中$f(x)$是非负可积函数，则$X$为$\text{连续型随机变量}$。

概率密度

若对于随机变量$X$的分布函数$F(x)$存在非负可积函数$f(x)$使得对于任意实数$x$都有$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\text{d}t$，则$f(x)$称为$X$的\textbf{概率密度函数}，简称$\text{概率密度}$，记为$X\sim f(x)$。

性质

• 改变 $f(x)$ 有限各点的值 $f(x)$ 仍是概率密度（因为单个点没有面积）。且 $P(X=a)=0$。
• $f(x)$ 为某一随机变量 $X$ 的概率密度的充分必要条件：$f(x)⩾0$，且${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\text{d}x=1$。
• 若$X$为连续型随机变量，$X\sim f(x)$，则对任意实数$c$有$P\{X=c\}=0$。

应用

三大分布

均匀分布 $X\sim U(a,b)$

如果 $X$ 的概率密度或分布函数分别为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& 其他\end{array}$$ $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x<b\\ 1,& x\ge b\end{array}$$

则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从 $\text{均匀分布}$，记为 $X\sim U(a,b)$。

Note

几何概型是均匀分布的实际背景

指数分布 $E(\lambda )$

如果 $X$ 的概率密度或分布函数分别为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& 其他\end{array}$$ $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}(\lambda >0)$$

则称 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上服从参数为 $\lambda$ 的 $\text{指数分布}$，记为 $X\sim E(\lambda )$。

Note

$\lambda$ 叫失效频率 对比泊松分布，可以理解为泊松分布的连续性情况

正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$

如果 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$（$-\infty <x<+\infty$，$-\infty <\mu <+\infty$，$\sigma >0$），则称 $X$ 服从参数为 $(\mu ,{\sigma }^2)$ 的 $\text{正态分布}$，称 $X$ 为 $\text{正态变量}$，记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

当$\mu =0$，$\sigma =1$时的正态分布$N(0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$为$\text{标准正态分布}$，记为$\Phi (x)$，$\Phi (x)$为偶函数，$\Phi (0)=\frac{1}{2}$，$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$。

一维随机变量的分布

设 $X$ 为随机变量，函数 $y=g(x)$，则以随机变量 $X$ 作为自变量的函数 $Y=g(X)$ 也是随机变量，称为随机变量 $X$ 的函数。 如 $Y=a{X}^2+b{X}^{+}c$ 等等。

连续型→连续型（或混合型）

设 $X$ 为连续型随机变量，其分布函数、概率密度分别为 $F_x(x)$ 与 $f_x(x)$，随机变量 $Y=g(X)$ 是 $X$ 的函数，则 $Y$ 的分布函数或概率密度可用下面两种方法求得。

分布函数法

直接由定义求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=P\{Y⩽y\}=P\{(X)⩽y\}={\int }_{g(x)⩽y}{f}_X(x)\mathrm{d}x.$

公式法

根据上面的分布函数法，若 $y=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上是关于 $x$ 的严格单调可导函数，则存在 $x=h(y)$ 是 $y=g(x)$ 在 $(a,b)$ 上的可导反函数.

\begin{cases} f_X[h(y)]\bullet\left|h^{\prime}(y)\right|, & \alpha<y<\beta, \\ 0, & \text{其他,} & \end{cases}$$ ### 例题结论 设随机变量 $X$ 的分布函数 $F_x(x)$ 是严格单调增加函数，其反函数 $F_x^{-1}(y)$ 存在， $Y=F_{X}(X)$. 证明：$Y$ 服从区间 (0,1)上的均匀分布. 证明 $Y= F_X( X)$ 是在区间 (0,1)上取值的随机变量，故 当 $y<0$ 时，$F_Y(y)=0$; 当 $y\geqslant1$ 时 $, F_Y( y) = 1$ ; 当 $0\leqslant y<1$ 时， $$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{F_X(X)\leqslant y\}=P\{X\leqslant F_X^{-1}(y)\}=F_X[F_X^{-1}(y)]=y\:.$$ 综上所述，$Y=F_X(X)$ 的分布函数为 $$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\y,&0\leqslant y<1,\\1,&y\geqslant1,\end{cases}$$ 这是在区间 (0,1)上的均匀分布函数，所以 $Y\sim U(0,1).$