1_随机事件与概率

基本概念

随机试验

• 试验可以在相同的条件下重复进行。
• 试验所以可能结果都是明确可知，且不止一个。
• 每次试验的结果事先不确定。 用字母 $E$ 或 $E_1,E_2,E_3\dots$ 表示

随机事件

• 一次试验中可能出现也可能补出现的结果称为 $\text{随机事件}$，简称 $\text{事件}$，并用大写字母 $A,B,\cdots$ 来表示
• 每次试验中一定发生的事件，记为 $\Omega$
• 每次试验中一定不发生的事件，记为 $\varnothing$

样本空间

• 随机试验的每一个不可再分的可能结果称为 $\text{样本点}$，记为 $\omega$，样本点的全体组成的集合称为 $\text{样本空间}$ 或 $\text{基本事件空间}$，记为 $\Omega$，即 $\Omega =\{\omega \}$
• 由一个样本点构成的事件称为$\text{基本事件}$
• 随机事件 $A$ 总是由若干个基本事件构成，即 $A$ 是 $\Omega$ 的子集
• 样本点的个数就是基本事件的个数

事件的关系与运算

关系

• 包含
• 相等
• 积（交）
• 相容：$AB\ne \varnothing$
• 互斥：$AB=\varnothing$
• 和（并）
• 差
• 逆（对立）
• 完备事件组

运算

• 吸收律：若$A\subset B$，则$A\cup B=B$，$A\cap B=A$
• 交换律
• 结合律
• 分配率
• 对偶律（德·摩根律）

概率的定义

描述性定义

将随机事件 $A$ 发生的可能性大小的度量（非负）称为事件 $A$ 发生的概率，记为 $P(A)$。

统计性定义

在相同条件下做重复试验，事件$A$出现的次数$k$和总的试验次数$n$之比$\frac{k}{n}$，称为事件$A$在这$n$次试验中出现的$\text{频率}$，当$n$充分大时，频率将稳定与某常数$p$附近，$n$越大频率偏离这个常数$p$的可能性越小，这个常数$p$就是事件$A$的概率。

公理化定义

设随机试验的样本空间为 $\Omega$，如果对每一个事件 $A$ 都有一个确定的实数 $P(A)$，且事件函数 $P(\cdot )$ 满足：

• 非负性：$P(A)⩾0$
• 规范性：$P(\Omega )=1$
• 可列可加性：对于任意个互不相容事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 有 $P(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$，则称 $P(\cdot )$ 为概率，$P(A)$ 为事件 $A$ 的概率。

古典概型和几何概型

古典概型

样本空间满足：

• 只有有限个样本点（基本事件）
• 每个样本点（基本事件）发生的可能性一样（等可能）

几何概型

概率的性质和公式

性质

• 有界性：对于任一事件$A$，有$0⩽P(A)⩽1$
• 单调性：设$AB$为两个事件，若$A\subset B$，则$P(B-A)=P(B)-P(A)$，$P(B)⩾P(A)$。

公式

• 逆事件公式
• 加法公式
• 减法公式： $P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})$。
• 条件概率公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。$P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$，$P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)$。
• 乘法公式
• 全概率公式
• 贝叶斯公式（逆概率公式）

事件的独立性和独立重复实验

事件的独立性

描述性定义：设 $AB$ 为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件 $A$ 与 B$$\textbf{相互独立}。设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 是 $n⩾2$ 个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或几个事件发生与否的影响，则称事件 A_1,A_2,\cdots,A_n$$\textbf{相互独立}。 数学定义：设 $AB$ 为两个事件，如果 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A$ 与事件 B$$\textbf{相互独立}，简称 $A$ 与 B$$\textbf{独立}。如 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$。

独立性的判别