正定二次型

定义

$n$ 元二次型： $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=x^{T}Ax$

若对任意 $x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T\ne 0$ ，均有： $x^{T}Ax>0$ 则称 $f$ 为正定二次型，称其对应的矩阵 $A$ 为正定矩阵。

正定的充要条件

一元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定 $\iff$

• 对任意 $x\ne 0$ ，有 $x^{T}Ax>0$；
• $f$ 的正惯性指数 $p=n$； 常用
• 存在可逆矩阵 $D$ 使 $A=D^{T}D$；
• $A\simeq E$；
• $A$ 的特征值 $\lambda >0$； 常用
• $A$ 的全部顺序主子式均大于 $0$ 。 常用

Info

顺序主子式：矩阵左上角的子式。

• 有 $k$ 行就是 $k$ 阶顺序主子式。
• 必须开头是 $a_{11}$ ，结尾是 $a_{kk}$

正定的必要条件

• $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots )$；
• $|A|>0$。