向量空间

Note

过渡矩阵是右乘 在多数教科书中，把向量写成列向量的形式。矩阵左乘表示行变换，右乘表示列变换。过渡矩阵通过对一组列向量进行线性组合，使其变为另一组基，所以是列变换，用右乘。

概念

若 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 是 $n$ 维向量空间 $R^n$ 中的线性无关的有序向量组，则任意向量 $\alpha \in R^n$ 均可由 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 线性表出，记为 $\alpha =a_1{\xi }_1+a_2{\xi }_2+\cdots +a_n{\xi }_n$ 称有序向量组 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 为 $R^n$ 的一个 $\text{基}$，基向量的个数 $n$ 为向量空间的 $\text{维数}$，而 $[a_1,a_2,\cdots ,a_n]([a_1,a_2,\cdots ,a_n{]}^T)$ 为向量 $\alpha$ 在基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 下的 $\text{坐标}$，或称为 $\alpha$ 的坐标行列向量。

基变换、坐标变换

若 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 和 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 是 $R^n$ 中两个基，且有关系：$[{\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n]=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]C_{n\times n}$ 则这个式子称为基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 的 $\text{基变换公式}$，矩阵 $C$ 就是基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 的 $\text{过渡矩阵}$，$C$ 可逆，$C$ 的第 $i$ 列就是 ${\eta }_i$ 在基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 下的坐标列向量。
$\alpha$ 在基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 和基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 下坐标分别为 $x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T$，$y=[y_1,y_2,\cdots ,y_n{]}^T$，即 $\alpha =[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]x=[{\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n]y$ 又 $C$ 是基 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 到基 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 的过渡矩阵，即 $[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]=[{\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n]C$则 $\alpha =[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]x=[{\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n]y=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]Cy$ 从而 $x=Cy或y=C^{-1}x$这个就是$\text{坐标变换公式}$。