矩阵的逆

定义

设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵，若 $AB=BA=E$ ，则 $A$ 是可逆矩阵，且 $B$ 是 $A$ 的逆，记为 $A^{-1}$ 。

Note

• 逆矩阵是唯一的。
• 可逆的充分必要条件是 $|A|\ne 0$

逆矩阵的性质与重要公式

设 $A,B$ 同阶可逆方阵，则

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• 若 $k\ne 0$ ，则 $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
• $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

定义法求逆矩阵

方法 1

求一个矩阵 $B$ ，使 $AB=E$ ，且 $A^{-1}=B$ 。

方法 2

将 $A$ 分解为若干个可逆矩阵： $A=BC$ ，且

$A^{-1}=(BC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$