重要行列式

主对角线行列式（上下三角）

D = 主对角线元素连乘。 待完善

副对角线行列式

D = 副对角线元素连乘 * $(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 待完善

拉普拉斯展开式

设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 分别为 $m,n$ 阶矩阵：

\boldsymbol{A} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C}\\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = |\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}| $$\left|\begin{array}{cc}0& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{C}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{C}\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$$

Note

分块矩阵，切蛋糕

范德蒙德行列式

以三阶为例：

$$V_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2\end{array}\right|=(x_3-x_2)(x_3-x_1)\cdot (x_2-x_1)$$

Tip

只看第二行，大下标减所有小下标，遍历并连乘。