克拉默法则

对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数（方形）的非齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

若系数行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0$ （可逆），则方程有唯一解，且解为 $x_i=\frac{D_i}{D},i=1,2,\cdots ,n$

式中， $D_i$ 是由常数项 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 替换 $D$ 中的第 $i$ 列元素得到的行列式。

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对于 $n$ 个方程 $n$ 个未知数（方形）的非齐次线性方程组

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+\cdots +a_{nn}{x}_n=0\end{array}$$

若 $D\ne 0$ ，则齐次方程组只有零解；若 $D=0$ ，则齐次方程组有非零解。