化二次型为标准形与规范形

合同变换、二次型的合同标准形、规范形

线性变换的定义

Abstract

其实就是把二次型用矩阵的形式表达下来。

$x=Cy$

其中 $(\star )$ 式称为线性变换。若线性变换的系数矩阵 $C$ 可逆，即 $|C|\ne 0$ ，则称为可逆线性变换。

现给出 $f(x)=x^{T}Ax$ ，令 $x=Cy$ ，则 $f(x)=(Cy{)}^{T}A(Cy)=y^T(C^{T}AC)y$

记 $B=C^{T}AC$ ，则 $f(x)=y^{T}By=g(y)$

矩阵合同的定义与性质

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC=B$ 则称 $A$ 和 $B$ 合同。记作 $A\simeq B$。

此时称其对应的二次型 $f(x),g(x)$ 为合同二次型。

Note

可以看出，在二次型的背景下， $A$ 表征的是 $f(x)=x^{T}Ax$ 的 形态 ，$B$ 表征的是 $g(x)=y^{T}By$ 的 形态 。

但因为 $f(x),g(x)$ 就是一个东西，所以 $A,B$ 的不同是因为在不同的 参考系 下有不同 形态 。

而这个参考系就是 $x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T,y=[y_1,y_2,\cdots ,y_n{]}^T$

二次型的标准型、规范形

若二次型中只有平方项，没有交叉项（交叉项系数全为零），形如 $d_1{x}_1^2+d_2{x}_2^2+\cdots +d_n{x}_n^2$ 的二次型称为标准形。（一般不唯一）

若标准型中，系数的取值范围为 $\{1,-1,0\}$ 即形如 $x_1^2+\cdots +x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots -x_{p+q}^2$ 的二次型称为规范形。（不考虑顺序的情况下唯一）

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定理1：任何二次型 $f(x)=x^{T}Ax$ 一定可以通过拉格朗日配方法，化成标准形和规范形。 矩阵语言：任何实对称矩阵 $A$ 一定存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC=\Lambda$。

定理2：任何二次型 $f(x)=x^{T}Ax$ 可以通过正交变换 $x=Qy$ 化成标准形。 矩阵语言：任何实对称矩阵 $A$ 一定存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$。 重要

Note

配方法

将某个变量的平方项及与其有关的混合项一次配完 若没有平方项时，令

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3\end{array}$$

惯性定理

无论选取怎样的可逆线性变换，将二次型化为标准形或规范形，其正项个数 $p$ ，负项个数 $q$ 都是不变的。

称： $p$ 为正惯性指数， $q$ 为负惯性指数。

Note

• 若二次型的秩为 $r$ ，则 $r=p+q$ ；
• 可逆线性变换不改变正、负惯性指数。

两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是：

• 有相同的正负惯性指数；
• 或 有相同的秩以及正（或负）惯性指数；
• 或 有相同的正、负特征值个数。

二次型总结

看到 $f=x^{T}Ax$ 可以想：

1. 配方法（可逆线性变换）：$x=Cy$ 使 $f=y^T\Lambda y$ , $C^{T}AC=\Lambda$
2. 正交变换法（可逆线性变换）： $x=Qy$ , $Q^{-1}=Q^T$ 使 $Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$

$相似\Rightarrow 合同$ 相似一定合同，合同不一定相似。

对称的条件下，