矩阵的相似对角化

Abstract

本章节与 特征值与特征向量 密切相关，请理解后再学习。

定义

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使得： $P^{-1}AP=\Lambda$ 其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，则称： $A$ 可相似对角化，记 $A\sim \Lambda$ ，称 $\Lambda$ 是 $A$ 的相似标准型。

矩阵可相似对角化的条件

Caution

对于相似对角化，只有定义是不够的。因此请将接下来的过程（思想方法）弄清并记忆。

1. $A$ 可相似对角化 $\iff$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

Note

$\iff \exists P$ ，使 $P^{-1}AP=\Lambda$ $\iff \exists P=({\xi }_1,{\xi }_2)$ （列分块），使 $AP=P\Lambda$ $\iff \exists P=({\xi }_1,{\xi }_2)$ ，使 $A({\xi }_1,{\xi }_2)=({\xi }_1,{\xi }_2)\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& \\ & {\lambda }_2\end{array}\right)$ $\iff \exists P=({\xi }_1,{\xi }_2)$ ，使 $(A{\xi }_1,A{\xi }_2)=({\lambda }_1{\xi }_1,{\lambda }_2{\xi }_2)$ $\iff \exists P=({\xi }_1,{\xi }_2)$ ，使 $A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i(i=1,2)$ 特征值与特征向量

$\iff$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

请记住这个构成： 重要

$[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n{]}^{-1}A[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$

2. $A$ 可相似对角化 $\iff$ $A$ 对应与每个 $k$ 重特征值都有 $k$ 个线性无关的特征向量。
3. $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化。
4. $n$ 阶矩阵 $A$ 为实对称矩阵 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化。

Note

单根一定有一个线性无关的特征向量

求 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$

必考

Info

AKA：相似对角化计算

已知 $A$ 可相似对角化的条件下，计算步骤如下：

1. 求 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$；
2. 求对应于特征值的线性无关的特征向量 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n$； 求法
3. 令 $P=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]$ ，则 $P^{-1}AP=\Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$

注意：$P$ 中的特征向量 ${\xi }_n$ 与 $\Lambda$ 中的特征值 ${\lambda }_n$ 对应，且 $P$ 没有唯一性。

由特征值、特征向量反求 $A$

若 $P^{-1}AP=\Lambda$ ，则 $A=P\Lambda P^{-1}$ 是反求 $A$ 的一个基本思路。

求 $A^k$ 及 $f(A)$

当 $A\sim \Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$ 时，有

$P^{-1}{A}^{k}P={\Lambda }^k,A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}=P\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^k& & & \\ & {\lambda }_2^k& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n^k\end{array}\right]P^{-1}$

$P^{-1}f(A)P=f(\Lambda ),f(A)=Pf(\Lambda )P^{-1}=P\left[\begin{array}{cccc}f({\lambda }_1)& & & \\ & f({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & f({\lambda }_n)\end{array}\right]P^{-1}$