矩阵的相似

定义

两个方阵 $A,B$ ，若存在可逆矩阵使得：$P^{-1}AP=B$ ，则称 $A$ 相似于 $B$。 $A\sim B$

Note

1. $A\sim A$ （反身性）
2. 若 $A\sim B$ ，则 $B\sim A$ （对称性）
3. 若 $A\sim B,B\sim C$，则 $A\sim C$ （传递性） 常用

性质

若 $A\sim B$ ，则：

1. $|A|=|B|$
2. $r(A)=r(B)$
3. $tr(A)=tr(B)$ 矩阵的迹
4. ${\lambda }_A={\lambda }_B$ （或 $\lambda E-A=\lambda E-B$）
5. $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$
6. $A,B$ 各阶主子式之和分别相等

Note

若 1-6 条至少一条不成立，则 $A$ 不相似于 $B$。 即使 1-6 条均成立，也无法证明 $A$ 相似于 $B$。

重要结论

1. 若 $A\sim B$ ，则 $A^k\sim B^k$， $f(A)\sim f(B)$；
2. 若 $A\sim B$ ，且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1}$，$f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$；
3. 若 $A\sim B$ ，则 $A^{\ast }\sim B^{\ast }$， $A^T\sim B^T$
4. 若 $A\sim C,B\sim D$ ，则 $\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cc}C& O\\ O& D\end{array}\right]$

矩阵相似的判别和证明

1. 定义法：若有 $P^{-1}AP=B$ ，则 $A\sim B$；
2. 传递性：若有 $A\sim C,C\sim B$ ，则 $A\sim B$； 重要
3. 性质：若 $A\sim B$ ，则 性质 成立。（仅为相似的必要条件，但是可以用来证明不相似）