常用矩阵的特征值与特征向量

重要

后四列为重点内容，请一定记忆！

• $f(A)$
  • $f(\lambda )$
  • $\xi$
• $A^{\ast }$
  • $\frac{\mid A\mid }{\lambda }$
  • $\xi$
• $P^{-1}AP$
  • $\lambda$
  • $P^{-1}\xi$

Example

设矩阵 $A$ 满足 $A^2=A$ ，求其特征值可能的取值。

$A^2-A=0\Rightarrow f(A)=0\Rightarrow f(\lambda )=0\Rightarrow {\lambda }^2-\lambda =0$ $\lambda (\lambda -1)=0\Rightarrow \lambda =\{0,1\}$

秩一方阵

特征值

$${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0,{\lambda }_n={\beta }^T\alpha$$