非齐次线性方程组

方程组：

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

其向量形式为： $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=\mathbf{b}$

Note

等号右边换成 $b$ 向量

把解向量放进去可获得增广矩阵

$$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}& \begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\end{array}\right]$$

简记为 $[A⋮b]$ 。

有解的条件

• 若 $r(A)\ne r([A,b])$ ，则方程组无解；
• 若 $r(A)=r([A,b])=n$ 则方程组有唯一解；
• 若 $r(A)=r([A,b])<n$ 则方程组有无穷多解。

Tip

• 第一条可理解为： $\mathbf{b}$ 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示；
• 第二条为： ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,\mathbf{b}$ 线性相关。

解的性质

若 ${\eta }_1,{\eta }_2,\eta$ 是非齐次方程组 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解，则：

• ${\eta }_1-{\eta }_2$ 是 $Ax=0$ 的解；
• $k\xi +\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。

求解方法和步骤

1. 先写成齐次方程组（导出方程组） $Ax=0$ ，再求出其通解；
2. 求出 $Ax=b$ 的一个特解 $\eta$;
3. $Ax=b$ 的通解为 齐次通解加非齐次特解： $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\eta$ 。其中 $k_{n-r}$ 为任意常数。

Tip

若 $Ax=b$ 无解，想 $A^{T}Ax=A^{T}b$ 一定有解，解得的 $x_0$ 是 最佳近似解 。（见 例4.7）